高等數學：第四章 不定積分（1）不定積分的概念與性質

§4.1  不定積分的概念與性質

一、原函數的概念

【定義】已知

是一個定義在區間

内的函數，如果存在着函數

， 使得對

内任何一點

，都有

    或    

那麼函數

就稱為

在區間

内的原函數。

例如：

是

在區間

上的原函數。

對于原函數，我們很自然地會提出如下幾個問題：

【問題一】

具備什麼條件，就能保證它的原函數一定存在?

【問題二】若

有原函數，那麼它的原函數會有多少個?

【問題三】若

的原函數不止一個，是否可給出它的原函數的通式?

問題一将在下一章中讨論，這裡我們僅給出它的結論。

【原函數存在定理】

如果函數

在區間

内連續，那未在區間

内它的原函數一定存在，即：存在

，對一切的

，均有

。

簡言之：連續函數一定有原函數。

若

是

在區間

内的一個原函數，即

那麼對于任意常數

，由于

，于是，函數族

中的任何一個函數也一定是

在區間

内的原函數。由此可知：

如果

有原函數，那麼原函數的個數為無限多個。

問題三可由下述結論來解決

【結論】設

定義在區間

上，如果

是

在

上的一個原函數，那未函數族 

  (

是任意常數) 是

在區間

上的所有原函數全體。

證明： 設

是

在

上的另一個不同于

的原函數，

則 

，

  (

是某一常數 )

即

。

這表明： 

是以，

是

在

上的全體原函數。

二、不定積分概念

【定義】在區間

内，函數

的帶有任意常數項的原函數稱為

在區間

内的不定積分， 記作 

其中：

稱為積分号，

稱為被積函數，

稱為被積表達式，

稱為積分變量。

由前面的讨論，如果

是

在區間

内的一個原函數，那麼表達式

就是

在

上的不定積分，即

【例1】求 

解：

，  是以

 是

的一個原函數，

是以 

 ( 

任意常數 )

【例2】設曲線通過點(1，2)，且其上任一點處的切線斜率等于這點的橫坐标的兩倍，求此曲線的方程。

解：設所求曲線方程為

，按題設， 曲線上任一點

處的切線斜率為

，這表明：

是

的一個原函數。

由于

， 所求曲線

應是該曲線族

中的一條，由于所求曲線過點(1，2)，故:

，

。

于是， 所求曲線為

。

曲線族

中任意常數

的幾何意義( 運作程式gs0401.m )：

的圖形可由抛物線

沿

軸方向移動距離

得到。

當

時， 圖形向上移；  當

時，圖形向下移。

由此例，我們可将原函數，不定積分這些概念用幾何術語來加以描述。

1、函數

的一個原函數

的圖形叫做函數的一條積分曲線， 其方程為   

2、不定積分

的圖形叫做函數的積分曲線族， 它們的方程為

。

3、由

可知：

在積分曲線族上橫坐标相同的點處作切線，這些切線彼此平行。

由不定積分的定義，有如下關系式：

   或 

  或 

由此可見，微分運算 (記号為

) 與不定積分運算 (記号為

)是互逆的。當記号合在一起時，或者抵消，或者抵消後差一個常數。

三、基本積分表

由于不定積分運算與微分運算是互逆的， 那麼，我們可由基本初等函數的微分公式給出基本不定積分公式。

例如： 

，

當

時，  由

  有

基本不定積分公式， 同學們可自行給出， 這裡不再贅述。

四、不定積分的性質與舉例

【性質一】函數之和的不定積分等于各個函數的不定積分之和， 即

【性質二】求不定積分時，  被積函數中不為零的常數因子可以提到積分号的外面來，即

    (

為非零常數 )

這兩個性質極易證明，隻需對等式兩邊求導，比較兩邊是否相等即可。

利用不定積分的兩個性質與基本的不定積分公式，我們可求一些簡單函數的不定積分。

【例3】求

【例4】求

【例5】求

【例6】求

【例7】求

【例8】求