關于一個簡單函數方程問題的深入探究

關于一個簡單函數方程問題的探究過程

這個問題是一個高中同學問我的，來源是某張高數卷子的原題。但這個問題并不嚴謹，據說高數卷子預設為給出的函數都是任意階可導的，而且所有函數以及其所有導數全部連續。問題本身是很簡單的，看一眼就能得到答案。但是在給出這麼強的條件下，我不得不開始思考，滿足這樣條件的函數存在嗎？

我“仔細思考”半個小時之後，寫出比較冗長的步驟把這個問題給證僞了：這樣的函數是不存在的。但是在我第二天拿出之前的草稿，發現自己有一個地方寫錯了，盡管錯誤不明顯，無奈之下隻能重新想别的辦法否定這個問題。最後用别的辦法把這個函數給求出來了。這個函數的形式竟然如此簡單，但我為了得到這個函數卻沒有更簡單的方法。這也是函數方程的困難所在，為了追求解題的嚴謹，解出函數的過程往往不那麼容易。

那麼，感興趣的同學可以看一看我兩次的論證過程，希望你可以從中體會到什麼。

問 題 ： 已 知 f ( x + y ) = f ( x ) g ( y ) + f ( y ) g ( x ) , f ( 0 ) = 0 , f ′ ( 0 ) = 1 , g ′ ( 0 ) = 0 , 求 證 : f ′ ( x ) = g ( x ) . 問題：已知f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x),f(0)=0,f'(0)=1,g'(0)=0,求證:f'(x)=g(x). 問題：已知f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x),f(0)=0,f′(0)=1,g′(0)=0,求證:f′(x)=g(x).

證明：

等式兩端對y求偏導數，得：

f ′ ( x + y ) = f ( x ) g ′ ( y ) + f ′ ( y ) g ( x ) ⋯ ⋯ ① f'(x+y)=f(x)g'(y)+f'(y)g(x)\cdots\cdots① f′(x+y)=f(x)g′(y)+f′(y)g(x)⋯⋯①

令x=0，得：

f ′ ( y ) = f ( 0 ) g ′ ( y ) + f ′ ( y ) g ( 0 ) = g ′ ( y ) f'(y)=f(0)g'(y)+f'(y)g(0)=g'(y) f′(y)=f(0)g′(y)+f′(y)g(0)=g′(y)

證畢.

那麼，我們怎麼證明這個函數是不存在的呢？首先寫出我第一次錯誤的證法。

證 明 : 證明: 證明:

在 ① 式 中 令 y = x ， 得 ： 在①式中令y=x，得： 在①式中令y=x，得：

f ′ ( 2 x ) = f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) = [ f ( x ) g ( x ) ] ′ ⋯ ⋯ ② f'(2x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)=[f(x)g(x)]'\cdots\cdots② f′(2x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)=[f(x)g(x)]′⋯⋯② 對 ② 式 兩 端 積 分 得 ： 對②式兩端積分得： 對②式兩端積分得：

f ( 2 x ) = f ( x ) g ( x ) + C f(2x)=f(x)g(x)+C f(2x)=f(x)g(x)+C 令 x = 0 ： 令x=0： 令x=0：

0 = 0 + C 0=0+C 0=0+C 也 即 也即 也即

C = 0 , f ( 2 x ) = f ( x ) g ( x ) ⋯ ⋯ ③ C=0,f(2x)=f(x)g(x)\cdots\cdots③ C=0,f(2x)=f(x)g(x)⋯⋯③ 在 題 幹 的 式 子 中 ， 令 x = y ： 在題幹的式子中，令x=y： 在題幹的式子中，令x=y：

f ( 2 x ) = 2 f ( x ) g ( x ) ⋯ ⋯ ④ f(2x)=2f(x)g(x)\cdots\cdots④ f(2x)=2f(x)g(x)⋯⋯④ 由 ③ ④ 知 ： 由③④知： 由③④知：

[ f 2 ( x ) ] ′ = 2 f ( x ) f ′ ( x ) = 2 f ( x ) g ( x ) = 0 [f^2(x)]'=2f(x)f'(x)=2f(x)g(x)=0 [f2(x)]′=2f(x)f′(x)=2f(x)g(x)=0 對 上 式 積 分 ： 對上式積分： 對上式積分：

f 2 ( x ) = C = f 2 ( 0 ) = 0 f^2(x)=C=f^2(0)=0 f2(x)=C=f2(0)=0 也 就 是 也就是 也就是

f ( x ) = 0 ， f ′ ( x ) = 0 , 與 f ′ ( 0 ) = 1 矛 盾 ！ f(x)=0，f'(x)=0,與f'(0)=1沖突！ f(x)=0，f′(x)=0,與f′(0)=1沖突！ 所 以 符 合 題 意 的 函 數 是 不 存 在 的 。 是以符合題意的函數是不存在的。 是以符合題意的函數是不存在的。

證 畢 . 證畢. 證畢.

有沒有看出上述步驟的錯誤呢？其實在第二步“對②式兩端積分”時，左邊的積分的變量是2x，我當時沒有考慮到這裡的換元問題，導緻等式右邊的系數少了一個2，最後③式與④式應該是完全相同的。那麼，我們重新來探究這個問題。

證 明 ： 證明： 證明：

對 題 幹 中 的 式 子 ， 我 們 令 x = − y ， 有 ： 對題幹中的式子，我們令x=-y，有： 對題幹中的式子，我們令x=−y，有：

0 = f ( x ) f ′ ( − x ) + f ( − x ) f ′ ( x ) 0=f(x)f'(-x)+f(-x)f'(x) 0=f(x)f′(−x)+f(−x)f′(x) 構 造 函 數 F ( x ) = f ( x ) / f ( − x ) , 有 F ′ ( x ) = 0 構造函數F(x)=f(x)/f(-x),有F'(x)=0 構造函數F(x)=f(x)/f(−x),有F′(x)=0

兩 端 積 分 ： 兩端積分： 兩端積分： f ( x ) = C f ( − x ) f(x)=Cf(-x) f(x)=Cf(−x) 兩 端 求 導 ： 兩端求導： 兩端求導：

f ′ ( x ) = − C f ′ ( − x ) f'(x)=-Cf'(-x) f′(x)=−Cf′(−x) 令 x = 0 ： 令x=0： 令x=0：

C = − 1 C=-1 C=−1 所 以 f ( x ) 是 奇 函 數 , f ′ ( x ) 是 偶 函 數 ， f ′ ′ ( x ) 是 奇 函 數 。 是以f(x)是奇函數,f'(x)是偶函數，f''(x)是奇函數。 是以f(x)是奇函數,f′(x)是偶函數，f′′(x)是奇函數。

在 題 幹 的 式 子 中 令 y = − 2 x ， 我 們 有 ： 在題幹的式子中令y=-2x，我們有： 在題幹的式子中令y=−2x，我們有：

f ( − x ) = f ( x ) f ′ ( − 2 x ) + f ( − 2 x ) f ′ ( x ) f(-x)=f(x)f'(-2x)+f(-2x)f'(x) f(−x)=f(x)f′(−2x)+f(−2x)f′(x) 把 − x 替 換 為 x 并 利 用 奇 偶 性 : 把-x替換為x并利用奇偶性: 把−x替換為x并利用奇偶性:

f ( x ) = − f ( x ) f ′ ( 2 x ) + f ( 2 x ) f ′ ( x ) ⋯ ⋯ ⑤ f(x)=-f(x)f'(2x)+f(2x)f'(x)\cdots\cdots⑤ f(x)=−f(x)f′(2x)+f(2x)f′(x)⋯⋯⑤ 由 ④ 式 ， 我 們 有 ： 由④式，我們有： 由④式，我們有：

f ( 2 x ) = 2 f ( x ) f ′ ( x ) ⋯ ⋯ ⑥ f(2x)=2f(x)f'(x)\cdots\cdots⑥ f(2x)=2f(x)f′(x)⋯⋯⑥ 對 其 兩 端 求 導 ： 對其兩端求導： 對其兩端求導：

f ′ ( 2 x ) = [ f ′ ( x ) ] 2 + f ( x ) f ′ ′ ( x ) ⋯ ⋯ ⑦ f'(2x)=[f'(x)]^2+f(x)f''(x)\cdots\cdots⑦ f′(2x)=[f′(x)]2+f(x)f′′(x)⋯⋯⑦ 将 ⑥ ⑦ 帶 入 ⑤ 式 ： 将⑥⑦帶入⑤式： 将⑥⑦帶入⑤式：

f ( x ) = − f ( x ) ( [ f ′ ( x ) ] 2 + f ( x ) f ′ ′ ( x ) ) + 2 f ( x ) [ f ′ ( x ) ] 2 f(x)=-f(x)([f'(x)]^2+f(x)f''(x))+2f(x)[f'(x)]^2 f(x)=−f(x)([f′(x)]2+f(x)f′′(x))+2f(x)[f′(x)]2 f ( x ) ≠ 0 時 ， 有 ： f(x)≠0時，有： f(x)̸​=0時，有：

1 = [ f ′ ( x ) ] 2 − f ( x ) f ′ ′ ( x ) 1=[f'(x)]^2-f(x)f''(x) 1=[f′(x)]2−f(x)f′′(x) 利 用 初 值 條 件 ， 解 這 個 微 分 方 程 ， 我 們 有 ： 利用初值條件，解這個微分方程，我們有： 利用初值條件，解這個微分方程，我們有：

f ( x ) = x f(x)=x f(x)=x 顯 然 這 個 函 數 是 滿 足 條 件 的 . 顯然這個函數是滿足條件的. 顯然這個函數是滿足條件的.

解決這個函數方程确實花了我不少精力，尤其是在解最後一個微分方程時，過程是相當複雜的，這裡省略了解方程的步驟。可見做出一個斷言之前必須要有充分的理論支援。即使認為一個結論不正确，也應該自己在紙上把每一步的想法寫清楚才能成功。這也是我的老師經常教我的：再顯然的結論，也要嚴謹地寫出來，不然等到你失敗了，一切都晚了。