函數項級數——{x^n}

文章目錄

• 題目
• • 小問1
  • • 答
  • 小問2
  • • 答
    • 補充
    • 補充2

題目

設 f n ( x ) = x n , n = 1 , 2 , . . . f_n(x)=x^n,n=1,2,... fn​(x)=xn,n=1,2,...為定義在 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) (−∞,+∞)的函數列

小問1

證明它的收斂域為 ( − 1 , 1 ] (-1,1] (−1,1]，且有極限函數 f ( x ) = { 0 ∣ x ∣ &lt; 1 1 x = 1 f(x)=\begin{cases}0&amp;|x|&lt;1\\1&amp;x=1\end{cases} f(x)={01​∣x∣<1x=1​

答

• 對 ∀ ε &gt; 0 , 當 0 &lt; ∣ x ∣ &lt; 1 時 ， 有 \forall\varepsilon&gt;0,當0&lt;|x|&lt;1時，有 ∀ε>0,當0<∣x∣<1時，有 ∣ f n ( x ) − f ( x ) ∣ = ∣ x ∣ n |f_n(x)-f(x)|=|x|^n ∣fn​(x)−f(x)∣=∣x∣n
• 隻要取 N ( ε , x ) = ln ⁡ ε ln ⁡ ∣ x ∣ N(\varepsilon,x)=\frac{\ln \varepsilon}{\ln |x|} N(ε,x)=ln∣x∣lnε​當 n &gt; N ( ε , x ) 時 ， 就 有 n&gt;N(\varepsilon,x)時，就有 n>N(ε,x)時，就有 ∣ f n ( x ) − f ( x ) ∣ &lt; ε |f_n(x)-f(x)|&lt;\varepsilon ∣fn​(x)−f(x)∣<ε
• 當 x = 0 和 1 x=0和1 x=0和1時，對任何正整數n，都有 ∣ f n ( 0 ) − f ( 0 ) ∣ = 0 &lt; ε |f_n(0)-f(0)|=0&lt;\varepsilon ∣fn​(0)−f(0)∣=0<ε ∣ f n ( 1 ) − f ( 1 ) ∣ = 0 &lt; ε |f_n(1)-f(1)|=0&lt;\varepsilon ∣fn​(1)−f(1)∣=0<ε是以 { f n } \{f_n\} {fn​}在 ( − 1 , 1 ] (-1,1] (−1,1]上收斂，且極限函數如題所示
• 當 ∣ x ∣ &gt; 1 |x|&gt;1 ∣x∣>1時， ∣ x ∣ → + ∞ ( n → ∞ ) |x|\to+\infty(n\to\infty) ∣x∣→+∞(n→∞)
• 當 x = − 1 x=-1 x=−1時，級數 − 1 , 1 , − 1 , . . . -1,1,-1,... −1,1,−1,...顯然發散

小問2

證明 { x n } \{x^n\} {xn}在 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)上不一緻收斂

答

• 由小問1可知， { x n } 在 ( 0 , 1 ) 上 收 斂 到 f ( x ) = 0 \{x^n\}在(0,1)上收斂到f(x)=0 {xn}在(0,1)上收斂到f(x)=0
• 現在證明其不一緻收斂
  • 取 ε = 1 2 \varepsilon=\frac12 ε=21​,則對任意正整數N，當n>N+1時，令 x ′ = ( 1 − 1 n ) 1 n x&#x27;=(1-\frac1n)^{\frac1n} x′=(1−n1​)n1​ x ′ x&#x27; x′肯定是在(0,1)内的，則有 ∣ x ′ n ∣ = 1 − 1 n &gt; 1 2 |x&#x27;^n|=1-\frac1n&gt;\frac12 ∣x′n∣=1−n1​>21​

不一緻收斂的充要條件：

∃ ε 0 &gt; 0 , 對 ∀ N &gt; 0 , 都 有 D 上 某 一 點 x ′ ( N ) 與 正 整 數 n ′ ( N ) &gt; N ， 使 得 \exist\varepsilon_0&gt;0,對\forall N&gt;0,都有D上某一點x&#x27;(N)與正整數n&#x27;(N)&gt;N，使得 ∃ε0​>0,對∀N>0,都有D上某一點x′(N)與正整數n′(N)>N，使得 ∣ f n ′ ( x ′ ) − f ( x ′ ) ∣ ≥ ε 0 |f_{n&#x27;}(x&#x27;)-f(x&#x27;)|\ge\varepsilon_0 ∣fn′​(x′)−f(x′)∣≥ε0​

補充

• 從這個例子可以看出一緻收斂定義的幾何意義：對任何正數 ε \varepsilon ε,存在正整數N，對于一切序列号大于N的 f n ( x ) f_n(x) fn​(x)，它們都落在以曲線 y = f ( x ) + ε 和 y = f ( x ) − ε y=f(x)+\varepsilon和y=f(x)-\varepsilon y=f(x)+ε和y=f(x)−ε中間
• 而 { x n } \{x^n\} {xn}為什麼會不一緻收斂呢？就是因為x=1,使得所有努力前功盡棄，因為不管怎麼控制n，無法改變的是當 x = 1 x=1 x=1時， y = 1 y=1 y=1,你的 f ( x ) f(x) f(x)又等于0，雖然這裡的定義域為 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)不包括1，但是它可以無限趨近1啊，這你咋整
• 是以 { x n } \{x^n\} {xn}可以在 ( 0 , b ) ( b &lt; 1 ) (0,b)(b&lt;1) (0,b)(b<1)上一緻收斂，此時隻要 n &gt; ln ⁡ ε ln ⁡ b n&gt;\frac{\ln \varepsilon}{\ln b} n>lnblnε​就能讓 f n ( x ) f_n(x) fn​(x)在 y = f ( x ) + ε 和 y = f ( x ) − ε y=f(x)+\varepsilon和y=f(x)-\varepsilon y=f(x)+ε和y=f(x)−ε中間，但隻要 b = 1 b=1 b=1，就别想了（其實在[0,b]内也收斂 ⇒ \Rightarrow ⇒ { x n } \{x^n\} {xn}在（-1,1）中内閉一緻收斂）

補充2

• 在一緻收斂函數列與函數項級數的性質中關于連續性有一個延伸：若各項為連續函數的函數列的極限函數不連續，那麼此函數列在區間上不一緻收斂
• 因為函數項 { x n } \{x_n\} {xn​}各項函數列都是連續的，而極限函數在 x = 1 x=1 x=1處間斷，是以 { x n } \{x_n\} {xn​}在 ( − 1 , 1 ] (-1,1] (−1,1]上不一緻收斂