一道積分不等式的證明

設 f(x) 是閉區間 [0,1] 上滿足 f(0)=f(1)=0 的連續可微函數，求證不等式

(∫10f(x)dx)2≤112∫10|f′(x)|2dx,

并且等号成立當且僅當 f(x)=Ax(1−x), 其中 A 是常數。

證明 由 Newton-Leibniz 公式，

f(x)=∫x0f′(t)dt,f(x)=∫x1f′(t)dt.

由分部積分公式

∫10f(x)dx=∫10∫x0f′(t)dtdx=x∫x0f′(t)dt∣∣∣10−∫10xf′(x)dx=∫10(1−x)f′(x)dx.(1)

∫10f(x)dx=∫10∫x1f′(t)dtdx=x∫x1f′(t)dt∣∣∣10−∫10xf′(x)dx=−∫10xf′(x)dx.(2)

将 (1)(2) 兩式相加可得

∫10f(x)dx=12∫10(1−2x)f′(x)dx.

是以由 Cauchy-Schwarz 不等式可得

(∫10f(x)dx)2=14(∫10(1−2x)f′(x)dx)2≤14∫10(1−2x)2dx⋅∫10|f′(x)|2dx=112∫10|f′(x)|2dx.

由 Cauchy-Schwarz 不等式的等号成立條件可知，上式等号成立當且僅當 f′(x)=A(1−2x) , 即 f(x)=Ax(1−x)+C, 又由于 f(0)=0, 是以 C=0, 故等号成立當且僅當 f(x)=Ax(1−x), 其中 A 是常數。□

後記

這種和 f(x),f′(x) 有關的積分不等式往往要利用 Newton-Leibniz 公式和積分形式的 Cauchy-Schwarz 不等式。

最開始遇到這道題的時候，沒有找到合适的方法使最終結果出現 112 , 苦苦思索幾天仍未有所收獲，終于在今天晚上突然聯想到 Cauchy-Schwarz 不等式的等号成立條件，要證的是等号成立當且僅當 f(x)=Ax(1−x) , 也就是當且僅當 f′(x)=A(1−2x) 。并且容易知道， ∫10(1−2x)2dx=13 , 這與結果中的 112 已經有那麼一點接近了，這樣一來，如果能湊出 ∫10(1−2x)f′(x)dx 再利用 Cauchy-Schwarz 不等式，或許就能證出想要的結果。按照這樣的思路，利用題中的已知條件來嘗試湊出 ∫10(1−2x)f′(x)dx ，果然完美地證出了想要的結果。

以上的就是整個證明過程的想法，也是苦苦思考幾天的一點小小的靈感，故作此文，以記錄那靈感閃現的瞬間 :)

2016.12.10