對數項級數一道課後例題的新思考<題目>

原出處在這裡

<題目>

P 27 5 P_{27}5 P27​5

• 若 ∑ a n \sum a_n ∑an​收斂
• ∑ ( b n + 1 − b n ) \sum (b_{n+1}-b_n) ∑(bn+1​−bn​)絕對收斂
• 證明： ∑ a n b n 也 收 斂 \sum a_nb_n也收斂 ∑an​bn​也收斂

反思

• 确實想到了 ∣ ∑ k = n n + p a k b k ∣ = ∣ ∑ k = n n + p − 1 ( b k − b k + 1 ) S k + b n + p S n + p ∣ |\sum\limits_{k=n}^{n+p} a_kb_k|=|\sum\limits_{k=n}^{n+p-1}(b_{k}-b_{k+1})S_k+b_{n+p}S_{n+p}| ∣k=n∑n+p​ak​bk​∣=∣k=n∑n+p−1​(bk​−bk+1​)Sk​+bn+p​Sn+p​∣ (1) ≤ ∣ ∑ k = n n + p − 1 ( b k − b k + 1 ) S k ∣ + ∣ b n + p S n + p ∣ \le|\sum\limits_{k=n}^{n+p-1}(b_{k}-b_{k+1})S_k|+|b_{n+p}S_{n+p}|\tag{1} ≤∣k=n∑n+p−1​(bk​−bk+1​)Sk​∣+∣bn+p​Sn+p​∣(1)
• 但後面我就開始騷操作了， ∑ a n \sum a_n ∑an​不是收斂嗎，那就讓 ∣ S k ∣ ≤ M |S_k|\le M ∣Sk​∣≤M, ∑ k = n n + p − 1 ∣ b k − b k + 1 ∣ ≤ ε 2 M \sum\limits_{k=n}^{n+p-1}|b_{k}-b_{k+1}|\le\frac{\varepsilon}{2M} k=n∑n+p−1​∣bk​−bk+1​∣≤2Mε​,是以以上就有 ( 1 ) ≤ ε 2 + M ∣ b n + p ∣ (1)\le \frac{\varepsilon}2+M|b_{n+p}| (1)≤2ε​+M∣bn+p​∣
• 然後就難倒我了，這這這 ∣ b n + p ∣ |b_{n+p}| ∣bn+p​∣咋求？？在我苦思冥想之後，硬是想到了一種方法，不知道對不對:可以由已知條件證明 { b n } \{b_n\} {bn​}收斂，用柯西條件：
• ∀ ε &gt; 0 , ∃ N ， 當 n − 1 &gt; m &gt; N 時 ， 有 \forall\varepsilon&gt;0,\exist N，當n-1&gt;m&gt;N時，有 ∀ε>0,∃N，當n−1>m>N時，有 ∣ b n − b m ∣ = ∣ T n − 1 − T m ∣ &lt; ε |b_n-b_m|=|T_{n-1}-T_{m}|&lt;\varepsilon ∣bn​−bm​∣=∣Tn−1​−Tm​∣<ε T n = ∑ i = 1 n ( b i + 1 − b i ) T_n=\sum\limits_{i=1}^n(b_{i+1}-b_i) Tn​=i=1∑n​(bi+1​−bi​)
• 是以 lim ⁡ n → ∞ b n = 0 \lim\limits_{n\to\infty}b_n=0 n→∞lim​bn​=0