一.正項級數收斂性的一般判别
同号級數；正項級數；
由于級數與其部分和數列具有相同的斂散性，得如下定理。
定理1.
正項級數
收斂的充要條件是：部分和數列
有界，即存在某正數M，對一切正整數n有
定理2.（比較原則）
設
和
是兩個正項級數，如果存在某正數N，對一切n>N都有
則
（i）若級數
收斂，則級數
也收斂；
（ii）若級數
發散，則級數
也發散；
（大收小發）
推論
設
是兩個正項級數，若
則
（i）當
時，級數（1）.（2）同時收斂或同時發散；
（ii）當
且級數（2）收斂時，級數（1）也收斂；
（iii）當
且級數（2）發散時，級數（1）也發散；
二.比式判别法和根式判别法
以等比級數作為比較對象而得到的。
定理3（達朗貝爾判别法，或稱比式判别法）
設
為正項級數，且存在某正數
及常數
（i）若對一切
成立不等式
則級數
收斂；
（ii）若對一切
成立不等式
則級數
發散；
推論1（比式判别法的極限形式）
若
為正項級數，且
則
（i）當
時，級數
收斂；
（ii）當
或
時，級數
發散；
（iii）當
時，級數
可能收斂可能發散，無法判斷；
推論2
設
為正項級數.
（i）若
則級數收斂；（上極限）
（ii）若
則級數發散；（下極限）
定理4（柯西判别法，或稱根式判别法）
設
為正項級數.且存在某正數
及正常數
（i）若對一切
成立不等式
則級數
收斂；
（ii）若對一切
成立不等式
則級數
發散；
推論1（根式判别法的極限形式）
設
為正項級數，且
則
（i）當
時，級數
收斂；
（ii）當
時，級數
發散；
（iii）當
時，級數
可能收斂可能發散，無法判斷；
推論2
設
為正項級數，且
則當
（i）
時級數收斂；
（ii）
時級數發散；
結論1：若
則必有
結論2：若
則
三.積分判别法
積分判别法是利用非負函數的單調性和積分性質，并以反常積分為比較對象來判斷正項級數的斂散性。
定理5
設
為
上非負減函數，那麼正項級數
與反常積分
同時收斂或同時發散。
四.拉貝判别法
比式判别法和根式判别法時基于把所要判斷的級數與某一等比級數相比較的想法而得到的，也就是說，隻有那些級數的通項收斂于零的速度比某一等比級數收斂的速度快的級數，這兩種方法才能鑒定出它的收斂性。如果級數的通項收斂速度較慢，他們就無能為力了，是以為了獲得判别範圍更大的一類級數，就必須尋找級數的通向收斂于零較慢的級數作為比較标準。
定理6（拉貝判别法）
設
為正項級數，且存在某正整數
及常數r，
（i）若對一切
成立不等式
則級數
收斂；
（ii）若對一切
成立不等式
則級數
發散；
推論（拉貝判别法的極限形式）
設
為正項級數，且極限
存在，則
（i）當r>1時，級數
收斂；
（ii）當r<1時，級數
發散；