兩個不相交的閉集并不能保證兩個集合可分

首先， 我們重申以下閉集的定義。如果一個集合的聚點都屬于這個集合本身嗎，那麼這個集合是一個閉集。

比如 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]就是一個閉集，而 ( 0 , 1 ] (0,1] (0,1]就不是。

接下來， 我們再來定義兩個集合是否可分。首先我們要明确的一點是， 可分和交集為空是兩個概念。也就是說即便是沒有交集的集合也可能是不可分。要搞清楚這個概念就必須要搞清楚什麼叫做可分或者說不可分。

如果下面的條件成立，則說明兩個集合不可分。

d ( A , B ) = inf ⁡ { ∣ x − y ∣ : x ∈ A , y ∈ B } = 0 d(A,B)=\inf\{|x-y|:x\in A, y\in B\}=0 d(A,B)=inf{∣x−y∣:x∈A,y∈B}=0

比如： [ 0 , 1 ) [0,1) [0,1)和 [ 1 , 2 ] [1,2] [1,2]，這兩個集合他們之間的交集就是空集。但是這兩個集合按照可分與不可分的定義來看 d ( [ 0 , 1 ) , [ 1 , 2 ] ) = 0 d([0,1), [1,2])=0 d([0,1),[1,2])=0. 也就是說這兩個集合并不可分。

或者我們用一種不太嚴謹的說法，兩個集合的并集沒有縫隙，那麼就說明兩個集合不可分。如果有縫隙就說明兩個集合可分。而這個縫隙的數學含義就是 d ( A , B ) > 0 d(A,B)>0 d(A,B)>0.

現在我們可以來讨論，如果兩個集合不相交且兩個集合都是閉集的時候，并不能說明兩個集合不可分。也就是說即便兩個集合都是閉集且不相交，他們也可能不可分。用形式化的語言描述就是

∃ A , B ( A ∩ B = ∅ ∧ A = A ‾ ∧ B = B ‾ ∧ d ( A , B ) = 0 ) \exists A,B(A\cap B=\varnothing \wedge A=\overline{A}\wedge B=\overline{B} \wedge d(A,B)=0) ∃A,B(A∩B=∅∧A=A∧B=B∧d(A,B)=0)

p r o o f : proof: proof:

證明這個結論， 其實很簡單。我們隻要構造出這樣的例子就可以。本文就構造出兩個例子，一個是在有理數集合裡面構造出兩個集合， 一個是在 R 2 \mathbb{R}^2 R2裡面

1. 在 Q \mathbb{Q} Q裡面, A = { n : n ∈ N } A=\{n:n\in \mathbb{N}\} A={n:n∈N}, B = { n + 1 / n : n ∈ N } B=\{n+1/n:n\in\mathbb{N}\} B={n+1/n:n∈N}。 這兩個集合很明顯是閉集，且 A ∩ B = ∅ A\cap B=\varnothing A∩B=∅。但是 lim ⁡ n → ∞ n = lim ⁡ n → ∞ n + 1 / n \lim_{n\rightarrow \infty}n=\lim_{n\rightarrow \infty}n+1/n limn→∞​n=limn→∞​n+1/n， 可見 d ( A , B ) = 0 d(A,B)=0 d(A,B)=0。
2. 在 R 2 \mathbb{R}^2 R2裡面， A = { { x , 0 } : x ⩾ 0 } A=\{\{x,0\}:x\geqslant 0\} A={{x,0}:x⩾0}, B = { { x , 1 / x } : x > 0 } B=\{\{x,1/x\}:x>0\} B={{x,1/x}:x>0}。同理，這兩個集合也是閉集，且交集為空集。但是 d ( A , B ) = 0 d(A,B)=0 d(A,B)=0。

也就是說這兩個例子都說明，即便兩個都是閉集且交集為空，這兩個集合依然可能是不可分。