定義1
給定一個數列
，對它的各項依次用“+”号連接配接起來的表達式
稱為常數項無窮級數或數項級數（也常簡稱級數），其中
稱為數項級數（1）的通項或一般項。
數項級數（1）也常寫作
或簡單寫作
.
數項級數（1）的前n項之和，記為
稱它為數項級數（1）的第n個部分和，也簡稱部分和。
定義2
若數項級數（1）的部分和數列
收斂于S（即
）,則稱數項級數（1）收斂，稱S為數項級數（1）的和，記作
或
.
若
是發散數列，則稱數項級數（1）發散。
定理1（級數收斂的柯西準則）
級數（1）收斂的充要條件是：
當m>N以及對任意的正整數p，都有
級數（1）發散的充要條件是：
有
推論：若級數（1）收斂，則
（逆命題不成立；但逆否命題成立，即若
則級數（1）發散）
定理2
如級數
與
都收斂，則對任意常數c,d，級數
亦收斂，且
補充：若
非負，則
發散。
若
發散，
不一定發散。
定理3
去掉、增加或改變級數的有限個項并不改變級數的斂散性。
由此定理知道，若級數
收斂，其和為S，則級數
也收斂，且其和
式稱為級數 的第n個餘項（或簡稱餘項），它表示以部分和
代替S時所産生的誤差。
定理4
在收斂級數的項中任意加括号，既不改變級數的收斂性，也不改變它的和。（逆否命題成立，即若加了括号的級數發散，則原級數發散）
注意：從級數加括号後的收斂，不能推斷它在未加括号前也收斂。例如（1-1）+（1-1）+...+（1-1）+...=0+0+0+...=0收斂，但級數1-1+1-1+...卻是發散的。
典題：
1.等比級數（也稱為幾何級數）
當
時，等比級數收斂；當 時，
等比級數發散。
2.調和級數1+1/2+1/3+...+1/n+... 是發散的。
3.級數
收斂。