一.泰勒級數
若函數f在點
的某鄰域上存在直至n+1階的連續導數，則
為拉格朗日型餘項。
如果函數f在
處存在任意階的導數，這時稱級數
為函數f在
處的泰勒級數。
定理11
設f在點
具有任意階導數，那麼f在區間
上等于它的泰勒級數的和函數的充分條件：對一切滿足不等式
的x，有
這裡的
是f在
處的泰勒公式餘項。
如果f能在點
的某鄰域上等于其泰勒級數的和函數，則稱函數f在點
的這一領域上可以展開成泰勒級數，并稱等式
的右邊為f在
處的泰勒展開式，或稱幂級數展開式。
函數在
初的展開式
稱為f的麥克勞林級數。
二.初等函數的幂級數展開式
(1)k級多項式函數
的展開式是其本身。
當
時，收斂域為（-1，1）；
當
時，收斂域為（-1，1 ]；
當
時，收斂域為[ -1,1 ];