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- 1 傅裡葉變換FT
- 2 短時傅裡葉變換STFT
如果信号的幅度和頻率内容都不會随着時間的變化而變化，則稱此信号是平穩的信号，如頻率内容不變的正弦波。
如果信号的幅度随時間變化或信号的頻率内容随時間變化，稱此信号是非平穩信号。
1 傅裡葉變換FT
傅裡葉變換指出，任何連續測量得到的時序或信号，都可以表示為不同頻率的正弦波信号的無限疊加。從現代數學的眼光來看，傅裡葉變換是一種特殊的積分變換，它能将滿足一定條件的某個函數表示成正弦基函數的線性組合或者積分。
傅裡葉變換在數學中的定義如下。
設f(t)是t的函數，并且滿足以下三個條件：(1)具有有限個間斷點；(2)具有有限個極值點；(3)絕對可積。則在全實軸上，定義函數f(t)的傅裡葉變換為：
其中，𝓕{f(t)}是ω的函數，記作𝓕{f(t)}=F(ω)。若有：
則有：
通常将上面兩幅圖中的兩個公式稱作傅裡葉變換對。
傅裡葉變換F(ω)一般是複量，可以表示為指數形式F(ω)=|F(ω)|eiφ(ω)。其中，|F(ω)|稱作f(t)的傅裡葉譜，φ(ω)稱作相位譜。
對x(t)進行傅裡葉變換之後的頻域函數x(ω)隻是顯示了任一頻率ω包含在信号x(t)内的總的強度，不能提供有關譜分量的時間局域化資訊。如果信号x(t)是由多個平穩信号疊加而成，應用傅裡葉分析就可以得到每個信号的特征。但是由時變信号疊加而成的x(t)，如果采用傅裡葉變換，就會将随時間産生的所有突變傳遍x(ω)的整個頻率軸，導緻産生突變的時域資訊完全丢失，是以傅裡葉變換僅适用于平穩信号的分析，對于時變信号，應采用更加嚴格的方式進行分析和轉換。
2 短時傅裡葉變換STFT
為了研究信号在局部範圍的頻率特征，Garbor在1946年就提出了短時傅裡葉變換(Short Time Fourier Transform,STFT)，即在傅裡葉變換中引入時間相關性而又保持線性不變。其基本思想是：取時間函數g(t)作為視窗函數，用g(t-τ)與待分析函數f(t)相乘，然後再進行傅裡葉變換。如果沿着時間軸滑動視窗g(t)，就得到整個時間軸上的頻率分布。其中τ是：
漢語發音為“套”第四聲。
其中：
視窗函數g(t)應取對稱函數。短時傅裡葉變換得到的是函數f(t)在τ時刻的傅裡葉變換。不斷變化τ，即不斷移動視窗函數g(t)的中心位置，就可以得到函數f(t)在不同時刻的傅裡葉變換。如果選用的視窗函數在時域或頻域均具有良好的局部特性，那麼短時傅裡葉變換就給出了信号的局部時-頻分析，有利于同時在時域和頻域提取信号的精确資訊。是以短時傅裡葉視窗函數的選取非常重要。
但是，合适的時域和頻域視窗如何選擇呢？人們希望選擇的視窗函數能在獲得較高的時間分辨率的同時得到同樣高的頻率分辨率，但是測不準原理表明：對信号做時-頻分析時，其時窗和頻窗不能同時達到極小值。測不準原理描述如下：
如果設g(t)和G(ω)分别是時域和頻域的視窗函數，t0和ω0分别表示時窗和頻窗的“重心”，σgt和σGω表示時窗gω,τ(t)和頻窗Gω,τ(ω)的均方差，則：
這說明對信号進行時-頻分析時，要想同時達到時間t與頻率ω都是最高分辨率是不可能的。
對于時-頻視窗的選擇應遵循如下規律：
高頻時，時窗小、頻窗大；低頻時，時窗大、頻窗小。
- 1、如果分析的信号頻率較高，就應該選擇比較窄的時間窗函數，使頻域視窗盡量放寬；
- 2、如果分析的信号頻率較低，就應該選擇較寬的時間窗函數，而頻窗應盡量縮小，保證有較高的頻率分辨率和較小的測量誤差。
總之，對多尺度信号希望時-頻視窗有自适應性能，能夠自動改變σgt和σGω的大小。但短時傅裡葉變換STFT的時-頻視窗是固定不變的，視窗沒有自适應性，不适于對多尺度時變信号的分析。下面列出短時傅裡葉變換的弱點：
(1)短時傅裡葉變換STFT一旦標明時間窗後，分辨率就固定了，若要其他分辨率則需要更換時間窗；
(2)窗函數的平移本身不能構成基，沒有簡化計算的可能性，使得時頻分析的計算量一直很大(若為正交基，系數的計算相當友善)；
(3)由于時間和頻率都使用連續表達，連續視窗傅裡葉變換具有極大的備援性。如何使離散時間和頻率參數減少備援，而又不導緻資訊丢失？答案就是時-頻視窗一緻，即時間和頻率平移必須完全覆寫整個時頻平面。
END