STFT filter bank

STFT根據公式不同的寫法，可以推導出overlap-add和filter-bank兩種不同的實作方式

X(w)=∑nx(n)w(n−mR)e−jωn X ( w ) = ∑ n x ( n ) w ( n − m R ) e − j ω n

先暫時讨論R = 1的情況

filter bank可以用以下流程表示

分析下以上步驟：

1. 輸入信号 x(n) x ( n ) 被一個複指數調制，任意信号都可以分解成正弦函數的疊加，

x(n)=∑c=Nc=1akejωcn x ( n ) = ∑ c = 1 c = N a k e j ω c n

乘以一個複指數後

x(n)=∑c=Nc=1akej(ωc−ωk)n x ( n ) = ∑ c = 1 c = N a k e j ( ω c − ω k ) n

是以複指數調試過程在頻域可以看做是進行頻譜搬移，即所有頻率的信号都往前搬移了 ωk ω k ，可以看出，原先 x(n) x ( n ) 中在 ωk ω k 頻率的信号便被調制到了0頻率處，

2. 調制後的信号 xk x k 再與窗函數 w w 做卷積，時域卷積對應頻域相乘，窗函數在頻域為一個低通濾波器，是以輸出Xn(ωk)Xn(ωk)是原先包含 ωk ω k 然後被調制到直流頻率處的信号

那如果再在輸出解調一下，也就是再乘上一個 ejωkn e j ω k n ，如下圖

上圖整個過程就相當于讓 x(n) x ( n ) 通過了一個中心頻率為 ωc ω c 的帶通濾波器

用代碼驗證下上述過程的效果

N=;           % number of filters = DFT length 
fs=;        % sampling frequency (arbitrary)
D=;            % duration in seconds

L = ceil(fs*D)+; % signal duration (samples)
n = :L-;        % discrete-time axis (samples)
t = n/fs;         % discrete-time axis (sec)
x = chirp(t,,D,fs/);   % sine sweep from 0 Hz to fs/2 Hz
%x = echirp(t,0,D,fs/2); % for complex "analytic" chirp 
x = x(:L);       % trim trailing zeros at end
h = ones(,N);    % Simple DFT lowpass = rectangular window
%h = hamming(N);  % Better DFT lowpass = Hamming window
X = zeros(N,L);   % X will be the filter bank output
y = zeros(N,L);   % X will be the filter bank output
for k=:N         % Loop over channels
  wk = *pi*(k-)/N;
  xk = exp(-j*wk*n).* x;  % Modulation by complex exponential
  X(k,:) = filter(h,,xk);
end
for k=:N         % Loop over channels
  wk = *pi*(k-)/N;
  yk = exp(j*wk*n).* X(k,:);  % demodulation by complex exponential
  y(k,:) = yk;
end
y_out = sum(y)/(N*h());
           

上面代碼中，輸入為掃頻信号，20個濾波器組，信号在每個通道先經過調制，然後經過窗濾波，最後再通過解調還原，按照前面的解釋，輸出的 y y <script type="math/tex" id="MathJax-Element-22">y</script>各個通道應該是帶通濾波器的結果，畫出幾個通道的頻譜如下

fft1 = abs(fft(real(y(,:))));
fft2 = abs(fft(real(y(,:))));
fft3 = abs(fft(real(y(,:))));
figure,
omega = (:length(fft1)/)*/length(fft1);
subplot(,,),plot(omega,fft1(:)),title('y1')
subplot(,,),plot(omega,fft2(:)),title('y5')
subplot(,,),plot(omega,fft3(:)),title('y9')