STFT filter bank

STFT根据公式不同的写法，可以推导出overlap-add和filter-bank两种不同的实现方式

X(w)=∑nx(n)w(n−mR)e−jωn X ( w ) = ∑ n x ( n ) w ( n − m R ) e − j ω n

先暂时讨论R = 1的情况

filter bank可以用以下流程表示

分析下以上步骤：

1. 输入信号 x(n) x ( n ) 被一个复指数调制，任意信号都可以分解成正弦函数的叠加，

x(n)=∑c=Nc=1akejωcn x ( n ) = ∑ c = 1 c = N a k e j ω c n

乘以一个复指数后

x(n)=∑c=Nc=1akej(ωc−ωk)n x ( n ) = ∑ c = 1 c = N a k e j ( ω c − ω k ) n

因此复指数调试过程在频域可以看做是进行频谱搬移，即所有频率的信号都往前搬移了 ωk ω k ，可以看出，原先 x(n) x ( n ) 中在 ωk ω k 频率的信号便被调制到了0频率处，

2. 调制后的信号 xk x k 再与窗函数 w w 做卷积，时域卷积对应频域相乘，窗函数在频域为一个低通滤波器，因此输出Xn(ωk)Xn(ωk)是原先包含 ωk ω k 然后被调制到直流频率处的信号

那如果再在输出解调一下，也就是再乘上一个 ejωkn e j ω k n ，如下图

上图整个过程就相当于让 x(n) x ( n ) 通过了一个中心频率为 ωc ω c 的带通滤波器

用代码验证下上述过程的效果

N=;           % number of filters = DFT length 
fs=;        % sampling frequency (arbitrary)
D=;            % duration in seconds

L = ceil(fs*D)+; % signal duration (samples)
n = :L-;        % discrete-time axis (samples)
t = n/fs;         % discrete-time axis (sec)
x = chirp(t,,D,fs/);   % sine sweep from 0 Hz to fs/2 Hz
%x = echirp(t,0,D,fs/2); % for complex "analytic" chirp 
x = x(:L);       % trim trailing zeros at end
h = ones(,N);    % Simple DFT lowpass = rectangular window
%h = hamming(N);  % Better DFT lowpass = Hamming window
X = zeros(N,L);   % X will be the filter bank output
y = zeros(N,L);   % X will be the filter bank output
for k=:N         % Loop over channels
  wk = *pi*(k-)/N;
  xk = exp(-j*wk*n).* x;  % Modulation by complex exponential
  X(k,:) = filter(h,,xk);
end
for k=:N         % Loop over channels
  wk = *pi*(k-)/N;
  yk = exp(j*wk*n).* X(k,:);  % demodulation by complex exponential
  y(k,:) = yk;
end
y_out = sum(y)/(N*h());
           

上面代码中，输入为扫频信号，20个滤波器组，信号在每个通道先经过调制，然后经过窗滤波，最后再通过解调还原，按照前面的解释，输出的 y y <script type="math/tex" id="MathJax-Element-22">y</script>各个通道应该是带通滤波器的结果，画出几个通道的频谱如下

fft1 = abs(fft(real(y(,:))));
fft2 = abs(fft(real(y(,:))));
fft3 = abs(fft(real(y(,:))));
figure,
omega = (:length(fft1)/)*/length(fft1);
subplot(,,),plot(omega,fft1(:)),title('y1')
subplot(,,),plot(omega,fft2(:)),title('y5')
subplot(,,),plot(omega,fft3(:)),title('y9')