DFT的对称性与DCO-OFDM、ACO-OFDM

目录

• DFT与IDFT的表达式
• • DFT
  • IDFT
• DFT的对称性
• DCO-OFDM
• ACO-OFDM

DFT与IDFT的表达式

DFT

X ( k ) = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) e − j 2 π N k n X(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn} X(k)=n=0∑N−1​x(n)e−jN2π​kn

IDFT

x ( n ) = 1 N ∑ k = 0 N − 1 X ( k ) e j 2 π N k n x(n)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(k)e^{j\frac{2\pi}{N}kn} x(n)=N1​k=0∑N−1​X(k)ejN2π​kn

DFT的对称性

1. x ( n ) 是 实 数 ⟺ X ( k ) 共 轭 对 称 x(n)是实数 \Longleftrightarrow X(k)共轭对称 x(n)是实数⟺X(k)共轭对称

   X ( k ) 共 轭 对 称 ⟺ X ( n ) = X ( N − n ) ∗ 0 ≤ n ≤ ⌊ N / 2 ⌋ X(k)共轭对称 \Longleftrightarrow X(n)=X(N-n)^* \quad 0\leq n\leq \lfloor N/2 \rfloor X(k)共轭对称⟺X(n)=X(N−n)∗0≤n≤⌊N/2⌋

   X ( 0 ) X(0) X(0)为实数即可， X ( 0 ) = X ( N ) ∗ X(0)=X(N)^* X(0)=X(N)∗

   N N N为偶数时， X ( N / 2 ) X(N/2) X(N/2)为实数即可

   去掉 X ( 0 ) X(0) X(0)，其他关于 N / 2 N/2 N/2共轭对称

2. x ( n ) 是 虚 数 ⟺ X ( k ) 反 共 轭 对 称 x(n)是虚数 \Longleftrightarrow X(k)反共轭对称 x(n)是虚数⟺X(k)反共轭对称

   X ( k ) 共 轭 对 称 ⟺ X ( n ) = − X ( N − n ) ∗ 0 ≤ n ≤ ⌊ N / 2 ⌋ X(k)共轭对称 \Longleftrightarrow X(n)=-X(N-n)^* \quad 0\leq n\leq \lfloor N/2 \rfloor X(k)共轭对称⟺X(n)=−X(N−n)∗0≤n≤⌊N/2⌋

   X ( 0 ) X(0) X(0)为虚数即可， X ( 0 ) = − X ( N ) ∗ X(0)=-X(N)^* X(0)=−X(N)∗

   N N N为偶数时， X ( N / 2 ) X(N/2) X(N/2)为虚数即可

   去掉 X ( 0 ) X(0) X(0)，其他关于 N / 2 N/2 N/2反共轭对称

3. k k k为奇数时 X ( k ) X(k) X(k)非零，此时有

   x ( n ) = − x ( n + N / 2 ) 0 ≤ n < N / 2 x(n)=-x(n+N/2)\quad 0\leq n<N/2 x(n)=−x(n+N/2)0≤n<N/2

   N N N必须是偶数

4. k k k为偶数时 X ( k ) X(k) X(k)非零，此时有

   x ( n ) = x ( n + N / 2 ) 0 ≤ n < N / 2 x(n)=x(n+N/2)\quad 0\leq n<N/2 x(n)=x(n+N/2)0≤n<N/2

   N N N必须是偶数

DCO-OFDM

全称为DC biased optical OFDM。对于采用IM/DD（intensity modulated/direct detection）的可见光通信系统，生成的OFDM符号必须是

非负实数

。通过让频域符号 X ( k ) X(k) X(k)满足共轭对称性质，即可保证时域的OFDM符号是

实数

，进一步加上合适大小的直流偏置来保证

非负

。（加偏置后依然小于零的部分直接clip掉）

缺点：

• large DC bias is usually needed, therefore less power efficient
• clipping noise (affect all sub-carriers)

ACO-OFDM

全称为Asymmetrically clipped optical OFDM。再使 X ( k ) X(k) X(k)满足共轭对称的前提下，仅使用

odd sub-carrier

进行传输（频谱效率减小了一半），由上面的性质可知，时域OFDM符号不仅是实的，而且满足

x ( n ) = − x ( n + N / 2 ) 0 ≤ n < N / 2 x(n)=-x(n+N/2)\quad 0\leq n<N/2 x(n)=−x(n+N/2)0≤n<N/2

之后不加直流偏置DC，而是直接将信号从0处clip掉，由上式知该操作并不会丢失信息。

clipping

造成的影响：

• （频域）odd sub-carrier上的值变为了原来的一半
• （频域）clipping noise只出现在even-carrier上，而由于检测时只从odd sub-carrier上提取信息，故clipping noise并不影响系统性能。