DFT的對稱性與DCO-OFDM、ACO-OFDM

目錄

• DFT與IDFT的表達式
• • DFT
  • IDFT
• DFT的對稱性
• DCO-OFDM
• ACO-OFDM

DFT與IDFT的表達式

DFT

X ( k ) = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) e − j 2 π N k n X(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn} X(k)=n=0∑N−1​x(n)e−jN2π​kn

IDFT

x ( n ) = 1 N ∑ k = 0 N − 1 X ( k ) e j 2 π N k n x(n)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(k)e^{j\frac{2\pi}{N}kn} x(n)=N1​k=0∑N−1​X(k)ejN2π​kn

DFT的對稱性

1. x ( n ) 是 實 數 ⟺ X ( k ) 共 轭 對 稱 x(n)是實數 \Longleftrightarrow X(k)共轭對稱 x(n)是實數⟺X(k)共轭對稱

   X ( k ) 共 轭 對 稱 ⟺ X ( n ) = X ( N − n ) ∗ 0 ≤ n ≤ ⌊ N / 2 ⌋ X(k)共轭對稱 \Longleftrightarrow X(n)=X(N-n)^* \quad 0\leq n\leq \lfloor N/2 \rfloor X(k)共轭對稱⟺X(n)=X(N−n)∗0≤n≤⌊N/2⌋

   X ( 0 ) X(0) X(0)為實數即可， X ( 0 ) = X ( N ) ∗ X(0)=X(N)^* X(0)=X(N)∗

   N N N為偶數時， X ( N / 2 ) X(N/2) X(N/2)為實數即可

   去掉 X ( 0 ) X(0) X(0)，其他關于 N / 2 N/2 N/2共轭對稱

2. x ( n ) 是 虛 數 ⟺ X ( k ) 反 共 轭 對 稱 x(n)是虛數 \Longleftrightarrow X(k)反共轭對稱 x(n)是虛數⟺X(k)反共轭對稱

   X ( k ) 共 轭 對 稱 ⟺ X ( n ) = − X ( N − n ) ∗ 0 ≤ n ≤ ⌊ N / 2 ⌋ X(k)共轭對稱 \Longleftrightarrow X(n)=-X(N-n)^* \quad 0\leq n\leq \lfloor N/2 \rfloor X(k)共轭對稱⟺X(n)=−X(N−n)∗0≤n≤⌊N/2⌋

   X ( 0 ) X(0) X(0)為虛數即可， X ( 0 ) = − X ( N ) ∗ X(0)=-X(N)^* X(0)=−X(N)∗

   N N N為偶數時， X ( N / 2 ) X(N/2) X(N/2)為虛數即可

   去掉 X ( 0 ) X(0) X(0)，其他關于 N / 2 N/2 N/2反共轭對稱

3. k k k為奇數時 X ( k ) X(k) X(k)非零，此時有

   x ( n ) = − x ( n + N / 2 ) 0 ≤ n < N / 2 x(n)=-x(n+N/2)\quad 0\leq n<N/2 x(n)=−x(n+N/2)0≤n<N/2

   N N N必須是偶數

4. k k k為偶數時 X ( k ) X(k) X(k)非零，此時有

   x ( n ) = x ( n + N / 2 ) 0 ≤ n < N / 2 x(n)=x(n+N/2)\quad 0\leq n<N/2 x(n)=x(n+N/2)0≤n<N/2

   N N N必須是偶數

DCO-OFDM

全稱為DC biased optical OFDM。對于采用IM/DD（intensity modulated/direct detection）的可見光通信系統，生成的OFDM符号必須是

非負實數

。通過讓頻域符号 X ( k ) X(k) X(k)滿足共轭對稱性質，即可保證時域的OFDM符号是

實數

，進一步加上合适大小的直流偏置來保證

非負

。（加偏置後依然小于零的部分直接clip掉）

缺點：

• large DC bias is usually needed, therefore less power efficient
• clipping noise (affect all sub-carriers)

ACO-OFDM

全稱為Asymmetrically clipped optical OFDM。再使 X ( k ) X(k) X(k)滿足共轭對稱的前提下，僅使用

odd sub-carrier

進行傳輸（頻譜效率減小了一半），由上面的性質可知，時域OFDM符号不僅是實的，而且滿足

x ( n ) = − x ( n + N / 2 ) 0 ≤ n < N / 2 x(n)=-x(n+N/2)\quad 0\leq n<N/2 x(n)=−x(n+N/2)0≤n<N/2

之後不加直流偏置DC，而是直接将信号從0處clip掉，由上式知該操作并不會丢失資訊。

clipping

造成的影響：

• （頻域）odd sub-carrier上的值變為了原來的一半
• （頻域）clipping noise隻出現在even-carrier上，而由于檢測時隻從odd sub-carrier上提取資訊，故clipping noise并不影響系統性能。