《通信原理》第2章(确知信号)學習筆記

第 2 章 确知信号

文章目錄

• 第 2 章 确知信号
• • 2.1 确知信号的類型
  • 2.2 确知信号的頻域性質
  • • 2.2.1 功率信号的頻譜
    • 2.2.2 能量信号的頻譜密度
    • 2.2.3 能量信号的能量譜密度
    • 2.2.4 功率信号的功率譜密度
  • 2.3 确知信号的時域性質
  • • 2.3.1 能量信号的自相關函數
    • 2.3.2 功率信号的自相關函數
    • 2.3.3 能量信号的互相關函數
    • 2.3.4 功率信号的互相關函數

2.1 确知信号的類型

• 确知信号：其取值在任何時間都是确定的和可預知的信号，通常可以用數學公式表示它在任何時間的取值
• 分類（按照是否具有周期重複性）
  • 周期信号
  • 非周期信号

• 周期信号

  在數學上，若信号s(t)滿足下述條件：

  s ( t ) = s ( t + T 0 )      − ∞ < t < ∞ 式 中 T 0 > 0 ， 為 一 常 數 ， 則 稱 此 信 号 為 周 期 信 号 ， 否 則 為 非 周 期 信 号 ， 并 将 滿 足 條 件 的 最 小 T 0 稱 為 此 信 号 的 周 期 ， 将 1 / T 0 稱 為 基 頻 f 0 s(t)=s(t+T_0)\ \ \ \ -\infty<t<\infty\\ 式中T_0>0，為一常數，則稱此信号為周期信号，否則為非周期信号，\\并将滿足條件的最小T_0稱為此信号的周期，将1/T_0稱為基頻f_0 s(t)=s(t+T0​)    −∞<t<∞式中T0​>0，為一常數，則稱此信号為周期信号，否則為非周期信号，并将滿足條件的最小T0​稱為此信号的周期，将1/T0​稱為基頻f0​

• 分類（按照能量是否有限區分）
  • 能量信号
  • 功率信号

• 信号功率

  在通信理論中，通常把信号功率定義為電流在機關電阻（1Ω）上消耗的功率，即歸一化功率P

  P = V 2 / R = I 2 R = V 2 = I 2      ( W ) 式 中 ： V 為 電 壓 ( V ) ; I 為 電 流 ( A ) P=V^2/R=I^2R=V^2=I^2\ \ \ \ (W)\\ 式中：V為電壓(V);I為電流(A) P=V2/R=I2R=V2=I2    (W)式中：V為電壓(V);I為電流(A)

  可以認為，信号電流 I 或電壓 V 的平方都等于功率。一般化為用S代表信号的電流或電壓來計算信号功率。若信号電壓和電流的值随時間變化，則S可以改寫為時間 t 的函數 s(t)。故s(t)代表信号電壓或電流的時間波形。這時，信号能量 E 應當是信号瞬時功率的積分：

  E = ∫ − ∞ ∞ s 2 ( t ) d t 其 中 ， E 的 單 位 是 焦 耳 ( J ) E=\int_{-\infty}^{\infty}s^2(t)dt\\ 其中，E的機關是焦耳(J) E=∫−∞∞​s2(t)dt其中，E的機關是焦耳(J)

  若信号的能量是一個正的有限值，即

  0 < E = ∫ − ∞ ∞ s 2 ( t ) d t < ∞ 0<E=\int_{-\infty}^\infty s^2(t)dt<\infty 0<E=∫−∞∞​s2(t)dt<∞

  則稱此信号為能量信号

  信号的平均功率定義為

  P = lim ⁡ T → ∞ 1 T ∫ − T / 2 T / 2 s 2 ( t ) d t P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}s^2(t)dt P=T→∞lim​T1​∫−T/2T/2​s2(t)dt

  能量信号的平均功率P=0，因為若信号的能量有限，則在被趨于無窮大的時間T去除後，所得平均功率趨近于零

  功率信号：信号平均功率是一個有限的正值，但是其能量近似等于無窮大

  總結：信号可以分成兩類

  • 能量信号，其能量等于一個有限正值，但平均功率為零
  • 功率信号，其平均功率等于一個有限正值，但能量為無窮大
  能量信号和功率信号的分類對于非确知信号也适用

2.2 确知信号的頻域性質

信号的頻域特性

• 功率信号的頻譜
• 能量信号的頻譜密度
• 能量信号的能量譜密度
• 功率信号的功率譜密度

2.2.1 功率信号的頻譜

• 頻譜函數

  周 期 性 功 率 信 号 s ( t ) 的 周 期 為 T 0 C n = C ( n f 0 ) = 1 T 0 ∫ − T 0 / 2 T 0 / 2 s ( t ) e − j 2 π n f 0 t d t 式 中 ： f 0 = 1 / T 0 ; n 為 整 數 ， − ∞ < n < + ∞ ; C ( n f 0 ) 表 示 C 是 n f 0 的 函 數 ， 并 簡 記 為 C n C n = ∣ C n ∣ e j θ n 式 中 ： ∣ C n ∣ 為 頻 率 n f 0 的 信 号 分 量 的 振 幅 ； θ n 為 頻 率 n f 0 的 信 号 分 量 的 相 位 s ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ C n e j 2 π n t / T 0 周期性功率信号s(t)的周期為T_0\\ C_n=C(nf_0)=\frac{1}{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}s(t)e^{-j2\pi nf_0t}dt\\ 式中：f_0=1/T_0;n為整數，-\infty<n<+\infty;C(nf_0)表示C是nf_0的函數，并簡記為C_n\\ C_n=|C_n|e^{j\theta_n}\\ 式中：|C_n|為頻率nf_0的信号分量的振幅；\theta_n為頻率nf_0的信号分量的相位\\ s(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_ne^{j2\pi nt/T_0} 周期性功率信号s(t)的周期為T0​Cn​=C(nf0​)=T0​1​∫−T0​/2T0​/2​s(t)e−j2πnf0​tdt式中：f0​=1/T0​;n為整數，−∞<n<+∞;C(nf0​)表示C是nf0​的函數，并簡記為Cn​Cn​=∣Cn​∣ejθn​式中：∣Cn​∣為頻率nf0​的信号分量的振幅；θn​為頻率nf0​的信号分量的相位s(t)=n=−∞∑∞​Cn​ej2πnt/T0​

• 直流分量

  當 n = 0 時 ， C 0 = 1 T 0 ∫ − T 0 / 2 T o / 2 s ( t ) d t 當n=0時，\\ C_0=\frac{1}{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_o/2}s(t)dt\\ 當n=0時，C0​=T0​1​∫−T0​/2To​/2​s(t)dt

  它是信号s(t)的時間平均值，即直流分量

• 實體上實信号的頻譜和數學上的頻譜函數之間的關系

  C − n = 1 T 0 ∫ − T 0 / 2 T 0 / 2 s ( t ) e + j 2 π n f 0 t d t = [ 1 T 0 ∫ − T 0 / 2 T 0 / 2 s ( t ) e − j 2 π n f 0 t d t ] ∗ = C n ∗ C_{-n}=\frac{1}{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}s(t)e^{+j2\pi nf_0t}dt =[\frac{1}{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}s(t)e^{-j2\pi nf_0t}dt]^* =C_n^* C−n​=T0​1​∫−T0​/2T0​/2​s(t)e+j2πnf0​tdt=[T0​1​∫−T0​/2T0​/2​s(t)e−j2πnf0​tdt]∗=Cn∗​

  即頻譜函數的正頻率部分和負頻率部分間存在複數共轭關系。負頻率和正頻率的模是偶對稱的，相位是奇對稱的

2.2.2 能量信号的頻譜密度

• 頻譜密度

  設一個能量信号為s(t)，則将它的傅裡葉變換S(f)定義為它的頻譜密度：

  S ( f ) = ∫ − ∞ ∞ s ( t ) e − j 2 π f t d t S(f)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{-j2\pi ft}dt S(f)=∫−∞∞​s(t)e−j2πftdt

  而S(f)的逆傅裡葉變換就是原信号：

  s ( t ) = ∫ − ∞ ∞ S ( f ) e j 2 π f t d f s(t)=\int_{-\infty}^{\infty}S(f)e^{j2\pi ft}df s(t)=∫−∞∞​S(f)ej2πftdf

• 能量信号的頻譜密度S(f)和周期性功率信号的頻譜Cn的主要差別
  • S(f)是連續譜，Cn是離散譜
  • S(f)的機關是伏/赫(V/Hz)，而Cn的機關是伏(V)
• 實能量信号的頻譜密度和實功率信号的頻譜的共同特性
  • 其負頻譜和正頻譜的模偶對稱，相位奇對稱
  • 或者說，其頻譜密度的正頻率部分和負頻率部分成複數共轭關系

2.2.3 能量信号的能量譜密度

• 能量

  設一個能量信号s(t)的能量為E，則此信号的能量為

  E = ∫ − ∞ ∞ s 2 ( t ) d t E=\int_{-\infty}^{\infty}s^2(t)dt E=∫−∞∞​s2(t)dt

• 能量譜密度

  若此信号的傅裡葉變換（頻譜密度）為S(f)，則由巴塞伐爾定理得知

  E = ∫ − ∞ ∞ s 2 ( t ) d t = ∫ − ∞ ∞ ∣ S ( f ) ∣ 2 d f 表 示 ∣ S ( f ) ∣ 2 在 頻 率 軸 f 上 的 積 分 等 于 信 号 能 量 ， 所 以 稱 ∣ S ( f ) ∣ 2 為 能 量 譜 密 度 ， 它 表 示 在 頻 率 f 處 寬 度 為 d f 的 頻 帶 内 的 信 号 能 量 ， 或 者 也 可 以 看 作 是 單 位 頻 帶 内 的 信 号 能 量 。 可 以 改 寫 為 E = ∫ − ∞ ∞ G ( f ) d f 式 中 G ( f ) = ∣ S ( f ) ∣ 2      ( J / H z ) 為 能 量 譜 密 度 由 于 信 号 s ( t ) 是 一 個 實 函 數 ， 所 以 ∣ S ( f ) ∣ 是 一 個 偶 函 數 。 因 此 ， E = 2 ∫ 0 ∞ G ( f ) d f E=\int_{-\infty}^{\infty}s^2(t)dt=\int_{-\infty}^{\infty}|S(f)|^2df\\ 表示|S(f)|^2在頻率軸f上的積分等于信号能量，是以稱|S(f)|^2為能量譜密度，\\ 它表示在頻率f處寬度為df的頻帶内的信号能量，或者也可以看作是機關頻帶内的信号能量。\\ 可以改寫為\\ E=\int_{-\infty}^{\infty}G(f)df\\ 式中\\ G(f)=|S(f)|^2\ \ \ \ (J/Hz)\\ 為能量譜密度\\ 由于信号s(t)是一個實函數，是以|S(f)|是一個偶函數。是以，\\ E=2\int_0^{\infty}G(f)df E=∫−∞∞​s2(t)dt=∫−∞∞​∣S(f)∣2df表示∣S(f)∣2在頻率軸f上的積分等于信号能量，是以稱∣S(f)∣2為能量譜密度，它表示在頻率f處寬度為df的頻帶内的信号能量，或者也可以看作是機關頻帶内的信号能量。可以改寫為E=∫−∞∞​G(f)df式中G(f)=∣S(f)∣2    (J/Hz)為能量譜密度由于信号s(t)是一個實函數，是以∣S(f)∣是一個偶函數。是以，E=2∫0∞​G(f)df

2.2.4 功率信号的功率譜密度

• 功率譜密度 P(f)

  P ( f ) = lim ⁡ T → ∞ 1 T ∣ S T ( f ) ∣ 2 P(f)=\lim_{T\to \infty}\frac{1}{T}|S_T(f)|^2 P(f)=T→∞lim​T1​∣ST​(f)∣2

• 信号功率

  P = lim ⁡ T → ∞ 1 T ∫ − ∞ ∞ ∣ S T ( f ) ∣ 2 d f = ∫ − ∞ ∞ P ( f ) d f P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-\infty}^{\infty}|S_T(f)|^2df=\int_{-\infty}^{\infty}P(f)df P=T→∞lim​T1​∫−∞∞​∣ST​(f)∣2df=∫−∞∞​P(f)df

  若此功率信号具有周期性，則可以将T選作等于信号周期T0，并且用傅裡葉級數代替傅裡葉變換，求出信号的頻譜。這時，

  P = lim ⁡ T → ∞ 1 T ∫ − T / 2 T / 2 s 2 ( t ) d t = 1 T 0 ∫ − T 0 / 2 T 0 / 2 s 2 ( t ) d t P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}s^2(t)dt=\frac{1}{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}s^2(t)dt P=T→∞lim​T1​∫−T/2T/2​s2(t)dt=T0​1​∫−T0​/2T0​/2​s2(t)dt

  并且由周期函數的巴塞伐爾定理得知

  P = 1 T 0 ∫ − T 0 / 2 T o / 2 s 2 ( t ) d t = ∑ n = − ∞ ∞ ∣ C n ∣ 2 式 中 ： C n 為 此 周 期 信 号 的 傅 裡 葉 級 數 的 系 數 P = ∫ − ∞ ∞ ∑ n = − ∞ ∞ ∣ C ( f ) ∣ 2 δ ( f − n f 0 ) d f 式 中 C ( f ) = { C n      f = n f 0 0        其 他 P=\frac{1}{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_o/2}s^2(t)dt=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|C_n|^2\\ 式中：C_n為此周期信号的傅裡葉級數的系數\\ P=\int_{-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}|C(f)|^2\delta(f-nf_0)df\\ 式中\\ C(f)=\begin{cases} C_n \ \ \ \ f=nf_0\\ 0\ \ \ \ \ \ 其他 \end{cases} P=T0​1​∫−T0​/2To​/2​s2(t)dt=n=−∞∑∞​∣Cn​∣2式中：Cn​為此周期信号的傅裡葉級數的系數P=∫−∞∞​n=−∞∑∞​∣C(f)∣2δ(f−nf0​)df式中C(f)={Cn​    f=nf0​0      其他​

2.3 确知信号的時域性質

2.3.1 能量信号的自相關函數

• 能量信号s(t)的自相關函數的定義為

  R ( τ ) = ∫ − ∞ ∞ s ( t ) s ( t + τ ) d t      − ∞ < τ < ∞ R(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)s(t+\tau)dt \ \ \ \ -\infty<\tau<\infty R(τ)=∫−∞∞​s(t)s(t+τ)dt    −∞<τ<∞

  自相關函數反映了一個信号與延遲 τ \tau τ​​​ 後的同一信号間的相關程度。自相關函數R( τ \tau τ)和時間t無關，隻和時間差 τ \tau τ有關。當 τ \tau τ = 0 時，能量信号的自相關函數R(0)等于信号的能量，即

  R ( 0 ) = ∫ − ∞ ∞ s 2 ( t ) d t = E R(0)=\int_{-\infty}^{\infty}s^2(t)dt=E R(0)=∫−∞∞​s2(t)dt=E

  式中：E為能量信号的能量

  此外，R( τ \tau τ)是 τ \tau τ 的偶函數，即

  R ( τ ) = R ( − τ ) R(\tau)=R(-\tau) R(τ)=R(−τ)

• 能量信号的自相關函數的傅裡葉變換就是其能量譜密度。反之，能量信号的能量譜密度的逆傅裡葉變換就是能量信号的自相關函數，即

  R ( τ ) = ∫ − ∞ ∞ ∣ S ( f ) ∣ 2 e j 2 π f τ d f R(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}|S(f)|^2e^{j2\pi f\tau}df R(τ)=∫−∞∞​∣S(f)∣2ej2πfτdf

  R ( τ ) 和 ∣ S ( f ) ∣ 2 R(\tau)和|S(f)|^2 R(τ)和∣S(f)∣2 構成一對傅裡葉變換

2.3.2 功率信号的自相關函數

• 功率信号s(t)的自相關函數的定義為

  R ( τ ) = lim ⁡ T → ∞ 1 T ∫ − T / 2 T / 2 s ( t ) s ( t + τ ) d t      − ∞ < τ < ∞ R(\tau)=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}s(t)s(t+\tau)dt\ \ \ \ -\infty<\tau<\infty R(τ)=T→∞lim​T1​∫−T/2T/2​s(t)s(t+τ)dt    −∞<τ<∞

  當 τ = 0 \tau = 0 τ=0 時，功率信号的自相關函數R(0)等于信号的平均功率，即

  R ( 0 ) = lim ⁡ T → ∞ 1 T ∫ − T / 2 T / 2 s 2 ( t ) d t = P R(0)=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}s^2(t)dt=P R(0)=T→∞lim​T1​∫−T/2T/2​s2(t)dt=P

  式中：P為信号的功率

  功率信号的自相關函數也是偶函數

  對于周期性功率信号，自相關函數的定義可以改寫為

  R ( τ ) = 1 T 0 ∫ − T 0 / 2 T 0 / 2 s ( t ) s ( t + τ ) d t      − ∞ < τ < ∞ R(\tau)=\frac{1}{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}s(t)s(t+\tau)dt\ \ \ \ -\infty<\tau<\infty R(τ)=T0​1​∫−T0​/2T0​/2​s(t)s(t+τ)dt    −∞<τ<∞

• 周期性功率信号的自相關函數 R ( τ ) R(\tau) R(τ) 和其功率譜密度 P(f)之間是傅裡葉變換關系，即P(f)的逆傅裡葉變換是 R ( τ ) R(\tau) R(τ) ，而 R ( τ ) R(\tau) R(τ) 的傅裡葉變換是功率譜密度，即

  P ( f ) = ∫ − ∞ ∞ R ( τ ) e − j 2 π f τ d τ P(f)=\int_{-\infty}^{\infty}R(\tau)e^{-j2\pi f\tau}d\tau P(f)=∫−∞∞​R(τ)e−j2πfτdτ

2.3.3 能量信号的互相關函數

• 兩個能量信号 s 1 ( t ) s_1(t) s1​(t) 和 s 2 ( t ) s_2(t) s2​(t) 的互相關函數的定義為

  R 12 ( τ ) = ∫ − ∞ ∞ s 1 ( t ) s 2 ( t + τ ) d t      − ∞ < τ < ∞ R_{12}(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}s_1(t)s_2(t+\tau)dt\ \ \ \ -\infty<\tau<\infty R12​(τ)=∫−∞∞​s1​(t)s2​(t+τ)dt    −∞<τ<∞

• 互相關函數反映了一個信号和延遲 τ \tau τ​ 後的另一個信号間相關的程度。
• 互相關函數 R 12 ( τ ) R_{12}(\tau) R12​(τ) 和時間 τ \tau τ 無關，隻和時間差 τ \tau τ 有關。、

• 互相關函數和兩個信号相乘的前後次序有關，即有

  R 21 ( τ ) = R 12 ( − τ ) R_{21}(\tau)=R_{12}(-\tau) R21​(τ)=R12​(−τ)

• 互相關函數和互能量譜密度也是一對傅裡葉變換

  R 12 ( τ ) = ∫ − ∞ ∞ S 12 ( f ) e j 2 π f τ d f S 12 ( f ) = ∫ − ∞ ∞ R 12 ( τ ) e − j 2 π f τ d τ R_{12}(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}S_{12}(f)e^{j2\pi f\tau}df\\ S_{12}(f)=\int_{-\infty}^{\infty}R_{12}(\tau)e^{-j2\pi f\tau}d\tau\\ R12​(τ)=∫−∞∞​S12​(f)ej2πfτdfS12​(f)=∫−∞∞​R12​(τ)e−j2πfτdτ

  式中： S 12 = S 1 ∗ ( f ) S 2 ( f ) S_{12}=S_1^*(f)S_2(f) S12​=S1∗​(f)S2​(f)，稱為互能量譜密度

2.3.4 功率信号的互相關函數

• 兩個功率信号 s 1 ( t ) s_1(t) s1​(t) 和 s 2 ( t ) s_2(t) s2​(t) 的互相關函數的定義為

  R 12 ( τ ) = lim ⁡ T → ∞ 1 T ∫ − T / 2 T / 2 s 1 ( t ) s 2 ( t + τ ) d t      − ∞ < τ < ∞ R_{12}(\tau)=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}s_1(t)s_2(t+\tau)dt\ \ \ \ -\infty<\tau<\infty R12​(τ)=T→∞lim​T1​∫−T/2T/2​s1​(t)s2​(t+τ)dt    −∞<τ<∞

• 功率信号的互相關函數 R 12 ( τ ) R_{12}(\tau) R12​(τ) 也和時間 t 無關，隻和時間差 τ \tau τ 有關，并且互相關函數和兩個信号相乘的前後次序有關

  R 21 ( τ ) = R 12 ( − τ )      − ∞ < τ < ∞ R_{21}(\tau)=R_{12}(-\tau) \ \ \ \ -\infty<\tau<\infty R21​(τ)=R12​(−τ)    −∞<τ<∞

• 若兩個周期性功率信号的周期相同，則其互相關函數的定義可以寫為

  R 12 ( τ ) = 1 T ∫ − T / 2 T / 2 s 1 ( t ) s 2 ( t + τ ) d t      − ∞ < τ < ∞ R_{12}(\tau)=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}s_1(t)s_2(t+\tau)dt \ \ \ \ -\infty<\tau<\infty R12​(τ)=T1​∫−T/2T/2​s1​(t)s2​(t+τ)dt    −∞<τ<∞

  式中：T為信号的周期

• 周期性功率信号的互功率譜 C 12 C_{12} C12​ 是其互相關函數 R 12 ( τ ) R_{12}(\tau) R12​(τ) 的傅裡葉級數的系數

  R 12 ( τ ) = ∑ n = − ∞ ∞ [ C 12 ] e j 2 π n f 0 τ R_{12}(\tau)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}[C_{12}]e^{j2\pi nf_0\tau} R12​(τ)=n=−∞∑∞​[C12​]ej2πnf0​τ

  式中： C 12 = ( C n ) 1 ∗ ( C n ) 2 C_{12}=(C_n)_1^*(C_n)_2 C12​=(Cn​)1∗​(Cn​)2​ ，稱為信号的互功率譜

  R 12 ( τ ) = ∑ n = − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ C 12 ( f ) δ ( f − n f 0 ) e j 2 π n f 0 τ d f R_{12}(\tau)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}C_{12}(f)\delta(f-nf_0)e^{j2\pi nf_0\tau}df R12​(τ)=n=−∞∑∞​∫−∞∞​C12​(f)δ(f−nf0​)ej2πnf0​τdf

  式中： ∫ − ∞ ∞ C 12 ( f ) δ ( f − n f 0 ) d f = C 12 = ( C n ) 1 ∗ ( C n ) 2 \int_{-\infty}^{\infty}C_{12}(f)\delta(f-nf_0)df=C_{12}=(C_n)_1^*(C_n)_2 ∫−∞∞​C12​(f)δ(f−nf0​)df=C12​=(Cn​)1∗​(Cn​)2​