相關接收機 Correlation Receiver

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一、概述

    接收機由信号解調器和檢測器組成。

信号解調器：

    1)  功能：将接收波形

變換為N維向量

，N為發送信号波形的維數（線性組合的基底數）。

    2)  變換方法：求接收波形在各基向量上的投影。

    3)  兩種實作形式：

        a)  基于比對濾波器的實作方法——比對濾波器。

        b)  基于信号相關器的實作方法——相關解調器。

檢測器：

    根據N維向量

的取值，判斷發送波形為哪一個

。

二、相關解調器的數學原理和解調過程

1、構造相關解調器

    根據發送信号集

，構造正交基

。

    即：發送信号可能的種類數為M，但維數隻有N。

    要求：

中每一個信号

都可以表示成

的權重線性：

    注意，正交基

的構造不考慮噪聲空間。

    疊加了信道噪聲

後，接收信号

理論上可以分解為：

    其中：

是誤差項，是噪聲中無法用基函數組合的部分。

2、得到接收信号在各基函數上的投影

    令接收信号通過一組并行的個互相關器：

    注意：由于還沒有考慮檢測器原理，是以該電路和最終實作電路不同！

    其中：

就是信号

在基

方向上的投影，是我們需要的。

是高斯随機變量，由信道引入的加性噪聲決定。

    這裡用到了一個結論：線上性空間外的噪聲

，對信号檢測（相關器輸出）沒有影響。原因很簡單：

是與

不相關的分量，是以積分為0。

    最終相關器各路輸出為：

    顯然，相關器的輸出和噪聲一樣滿足高斯分布（

是确定的函數值）。其均值和方差分别為：

    是以，當發送信号在基函數上權重值為

時，最終得到向量

的機率服從聯合高斯分布：

三、檢測器的數學原理

1、MAP準則

    理想情況下，我們希望接收機能得到所有後驗機率，最大後驗機率對應的

就是我們的判決結果：

2、ML準則 ：Maximum Likelihood 最大似然

    理想很豐滿，現實很骨感。後驗機率很難用電路獲得。

    由貝葉斯公式進行變換：

    其中：

是先驗機率，一般設為等概；

，與發送信号無關，不影響判決。

    是以：尋找最大

，變成了尋找最大

。這個機率，恰好就是前面的信号解調器（相關器）計算得到的。

    為了友善，我們通常取對數：

    顯然，第一項是常數項，第二項是關于

單調的函數。

    是以：尋找最大

，變成了尋找最小歐氏距離：

    是以，基于ML的判決準則，又被稱為最小距離檢測。

    進一步展開、化簡：

    第一項是向量r的模值，對判斷沒有作用。設後兩項的相反數為相關度量：

    第二項是接收信号的能量

，第一項是接收信号向量r在發送信号向量

上的投影：

    是以：

    最終結論：

    a)  能使相關度量

最大的信号，就是我們的判決結果。

    b)  我們希望：接收信号

能在信号解調器中，被轉換成相關度量。

    c)  如果所有發送符号是等能量的，則

最大就是判決結果。

    是以最終實作圖如下：

3、不等機率情況

    此時，MAP準則不可以直接轉換為ML準則。

    因為：

    是以我們考慮

的最大值即可。結論和前面類似，也取對數。