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目錄
前言
非周期信号傅裡葉變換表示的導出
非周期信号的傅裡葉變換與周期信号的傅裡葉級數系數之間的關系
前言
前面我們講了，周期信号作為複指數信号線性組合的表示，即連續周期信号的傅裡葉級數表示與離散周期信号的傅裡葉表示，同時我們也知道了這一表示是如何用來描述線性時不變系統對這些信号的作用效果的，即傅裡葉級數與線性時不變系統。
上面讨論的都是周期信号，它們都是能量無限信号，這些信号的讨論基本上告一段落了，下面以及以後我們将讨論非周期信号，讨論的邏輯基于非周期信号可以看成周期無限大的周期信号，很多的知識點都是根據這個思路來推理的，是以可以說接下來的内容是上面内容的推廣。
事實上，相當廣泛的一類信号，其中包括全部能量有限的信号，也能夠經由複指數信号的線性組合來表示。
對于周期信号而言，這些複指數基本信号構造單元全是成諧波關系的；
而對于非周期信号，它們是在頻率上無限小的靠近。
為什麼這麼說呢？也就是為什麼說非周期信号經複指數信号的線性組合，其在頻率上無限小的靠近？
傅裡葉曾認為：一個非周期信号能夠看成周期無限長的周期信号這一點。
更确切地說，在一個周期信号的傅裡葉級數表示中，當周期增加時，基波頻率就減小，成諧波關系的各分量在頻率上愈加靠近。
當周期變成無限大時，這些頻率分量就形成了一個連續域，進而傅裡葉級數求和也就變成了積分。
既然對于非周期信号的複指數信号的線性組合是一個積分，在這種表示中所得到的系數譜稱為傅裡葉變換；而利用這些系數将信号表示為複指數信号線性組合的綜合積分式本身稱為傅裡葉逆變換。
好了，就當是傅裡葉變換的引入吧，下面正式進入傅裡葉變換的世界。
非周期信号傅裡葉變換表示的導出
以這篇博文：周期方波的傅裡葉級數系數，研究的對象——連續周期方波信号的傅裡葉級數表示入手。
從該圖可以看到，随着T增加，也就意味着基波頻率 w 0 w_0 w0減小，該包絡就被以愈來愈密集的間隔采樣。随着T變成任意大，原來的周期方波就趨近于一個矩形脈沖（也就是說，在時域保留的是一個非周期信号，它對應于原周期方波的一個周期）。與此同時，傅裡葉級數系數（乘以T後）作為包絡上的樣本也變得愈來愈密集，這樣從某種意義上說，随着 T → ∞ T\rightarrow \infty T→∞,傅裡葉級數系數就趨近于這個包絡函數。
事實上，這個就是後來的傅裡葉變換的分析公式！）
一個非周期信号 x ( t ) x(t) x(t)的變換 X ( j w ) X(jw) X(jw)稱為 x ( t ) x(t) x(t)的頻譜。因為 X ( j w ) X(jw) X(jw)告訴我們将 x ( t ) x(t) x(t)表示為不同頻率複指數信号的線性組合（積分）所需的資訊。
非周期信号的傅裡葉變換與周期信号的傅裡葉級數系數之間的關系
上式表明， x ( t ) ~ \tilde{x(t)} x(t)~的傅裡葉系數正比于一個周期内的 x ( t ) ~ \tilde{x(t)} x(t)~信号傅裡葉變換的等間隔樣本。
總結可知，周期信号頻譜對應非周期信号頻譜的樣本；非周期信号頻譜對應周期信号頻譜的包絡。