數學現實主義與數學形式主義
數學哲學觀點的差異在一定程度上可以用對這些新的無限性的态度來校準。
希爾伯特的觀點使他與另一位著名思想家布勞威爾完全對立，進而導緻了一場哲學對立。
希爾伯特認為數學是一種遊戲，純粹是按照一定的規則操作符号，這種觀點被稱為形式主義。
這種觀點并不一定禁止把這種 "公式遊戲 "解釋為與現實有這樣或那樣的聯系，但就其基本形式而言，它對有問題的數學 "實體 "的承諾要少于舊形式的數學現實主義。
柏拉圖的半身大理石雕像，4 世紀
希爾伯特認為數學是一種遊戲，純粹是按照一定的規則操作符号，這種觀點被稱為形式主義。
這種觀點并不一定禁止把這種 "公式遊戲 "解釋為與現實有這樣或那樣的聯系，但就其基本形式而言，它對有問題的數學 "實體 "的承諾要少于舊形式的數學現實主義。
如柏拉圖主義（這種觀點自然可以追溯到柏拉圖，它認為 "1 "和 "圓 "等數學對象确實作為持續存在的對象以一種獨立于我們和我們對它們的了解的方式存在）。
布勞威爾以第三種方式了解數學，與上述兩種觀點截然不同。
戈特洛布-弗雷格的現代雕像
希爾伯特最著名的定理之一，也是他與布勞威爾之間深刻分歧的核心，就是他所謂的基點定理。
更細微的細節并不重要：令哲學家們感興趣、令布魯瓦反對的是希爾伯特證明該定理的方法。
希爾伯特的基點定理是一個存在定理--它的形式是 "至少有一個 X"。
數學家在證明 "至少有一個 X "時，可以采取兩種方法中的一種：要麼證明如何找到這樣一個 X，要麼證明不可能沒有這樣一個 X。
希爾伯特對基點定理的證明是非構造性的。布勞威爾對此表示異議：他創立并熱情捍衛了一種被稱為直覺主義的數學哲學方法。
貝爾納多-斯特羅齊的《數學寓言》，17 世紀
直覺主義與建構主義
直覺主義者拒絕将數學對象，視為非由思維活動建構的事物。
對布勞威爾來說，希爾伯特使用的那種非構造證明技術存在嚴重問題。
反對這些非構造證明的數學哲學流派被稱為構造主義。
布勞威爾
建構主義者經常反對數學中存在真正的無限，這種獨立的觀點被稱為有限主義（還有其相當邊緣的表親--超有限主義，它甚至反對 "大到無法合理建構 "的有限對象）。
是以，希爾伯特和布勞威爾，不僅對數學對象的現實性和有效性提出了不同的觀點，而且提出了截然不同的數學方法。
二人都催生了對數理邏輯本身的新研究：直覺主義邏輯研究沒有排除中間律的邏輯系統，至今仍是一個活躍的研究領域。
大衛-希爾伯特
然而，更著名的是希爾伯特早期的形式主義方法，其樂觀的目标是建立一個公理系統（公理是始終假定為真的初始語句），所有數學都可以從這個公理系統中推導出來，而且這個公理系統本身沒有沖突。
這些概念在數理邏輯中分别稱為完備性和一緻性，似乎都是對所選數學基礎提出的完全合理的要求。
歐内斯特-波普的博爾紮諾雕像，1849 年
1900 年，希爾伯特發表了一份，他認為是當代數學最前沿的 23 個問題的清單。
其中第二個問題是證明他的算術公理是一緻的。
這個公理系統提供了我們熟悉的基本算術結構--數字、加法、減法等。
人們希望，這套公理足以将數學的其他部分形式化。
維也納紀念哥德爾的牌匾
哥德爾不完備性定理： 天堂裡的麻煩
庫爾特-哥德爾的兩個不完備性定理現在已聲名遠播，它們證明了任何包含算術的公理系統都無法證明其自身的一緻性，進而平息了對希爾伯特計劃的星光般的解讀。
這些定理是精确而微妙的邏輯定理，哲學家們在考慮它們對數學現實主義的影響時一直很謹慎（哥德爾本人仍是一位堅定的柏拉圖主義者）。
雖然在哥德爾之後，希爾伯特的計劃不一定完全停滞，但這些定理是數理邏輯的分水嶺，自那以後，它們一直是無休止的哲學讨論主題。
希爾伯特的方法，既不是第一個也不是最後一個數學公理基礎的方法。
當時有許多宏偉的計劃。
弗雷格以及後來的羅素引領了邏輯主義方法，旨在将數學定理還原為邏輯命題。
羅素在弗雷格的方法中發現了一個著名的嚴重問題，他的公理之一是允許通過援引滿足給定屬性的所有事物的集合來建立集合。
但這一公理卻陷入了一個沖突，即現在所謂的羅素悖論：這一定律允許所有不包含自身的集合，即一個無意義的實體。
反過來，哥德爾定理似乎又給羅素自己的邏輯主義野心踩了刹車，數學家們轉而采用了不那麼雄心勃勃的方法。
弗雷格和羅素本身都是路德維希-維特根斯坦早期發展不可或缺的一部分，維特根斯坦的工作對數學哲學有着廣泛的進一步影響，包括邏輯的地位及其與自然語言的關系。
伯特蘭-羅素 1957 年的照片
老問題，新問題： 數學哲學的未來
最終，人們找到了集合論公理化問題的可行解決方案，這就是澤爾默羅-弗萊克爾公理（還有選擇公理，雖然在曆史上曾引起争議，但在今天看來争議不大）。
在實踐中，這種本體論隻包含一個對象，即集合，一切都由它構造，是當今數學家的 "預設 "選擇（盡管絕不是唯一的選擇）。
澤梅洛-弗萊克爾集合論，在從哲學推測到具體數學知識的道路上一路前行，它現在本身就是邏輯學家研究的數學對象。
然而，正如康托爾的集合概念，挑戰了哲學家思考數學的方式一樣，随着新的基礎方法層出不窮，更新的抽象概念也開始挑戰哲學家思考數學的方式。
随着哲學與數學之間互相作用的加深，不僅老問題依然新鮮，而且新問題也從數學的新思路中湧現出來，讓哲學家們忙得不亦樂乎。
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