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為什麼人工智能可以給數學帶來革命性變化

為什麼人工智能可以給數學帶來革命性變化

編輯 | 白菜葉

「提出一個猜想——一個被懷疑為真的命題,但需要明确的證明——對數學家來說就像是神聖靈感的時刻。數學猜想不僅僅是有根據的猜測。制定它們需要天才、直覺和經驗的結合。即使是數學家也很難解釋自己的發現過程。然而,與直覺相反,我認為這是機器智能最初最具變革性的領域。」英國倫敦數學科學研究所所長 Thomas Fink 說。

為什麼人工智能可以給數學帶來革命性變化

2017 年,倫敦數學科學研究所的研究人員開始将機器學習應用于數學資料,作為一種愛好。在 COVID-19 大流行期間,他們發現簡單的人工智能(AI)分類器可以預測橢圓曲線的排名——衡量其複雜性的名額。

為什麼人工智能可以給數學帶來革命性變化

論文連結:https://arxiv.org/abs/2204.10140

橢圓曲線是數論的基礎,了解其基礎統計資料是解決七大千年難題之一的關鍵一步,這七大難題由羅德島州普羅維登斯的克萊數學研究所選出,每項獎金為 100 萬美元。很少有人期待人工智能會在這個高風險的領域發揮作用。

人工智能在其他領域取得了進展。幾年前,一個名為拉馬努金機(Ramanujan Machine)的計算機程式産生了基本常數的新公式,例如 π 和 e。它通過詳盡地搜尋連分數族來做到這一點——分母是一個數字加一個分數的分數,其分母也是一個數字加一個分數的分數,依此類推。其中一些猜想已經被證明,而另一些猜想仍然懸而未決。

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論文連結:https://www.nature.com/articles/s41586-021-03229-4

另一個例子與結理論有關,這是拓撲學的一個分支,其中一根假設的繩子在兩端粘在一起之前纏結在一起。Google DeepMind 的研究人員利用許多不同結的資料訓練了一個神經網絡,并發現了它們的代數和幾何結構之間的意想不到的關系。

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論文連結:https://www.nature.com/articles/s41586-021-04086-x

人工智能如何在人類創造力被認為至關重要的數學領域産生影響?

首先,數學中不存在巧合。在現實世界的實驗中,假陰性和假陽性比比皆是。但在數學中,一個反例就會讓猜想徹底推翻。例如,波利亞猜想指出,大多數低于任何給定整數的整數都具有奇數個質因數。但到了1960年,人們發現這個猜想對于數字 906,180,359,這個猜想并不成立。波利亞猜想一下子就被證僞了。

其次,可以訓練人工智能的數學資料很便宜。素數、紐結(knot)以及許多其他類型的數學對象非常豐富。整數序列線上百科全書(OEIS)包含近 375,000 個序列 — 從熟悉的斐波那契數列 (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...) 到強大的 Busy Beaver 數列 (0, 1, 4, 6, 13, ...),它的增長速度比任何可計算函數都快。科學家們已經在使用機器學習工具來搜尋 OEIS 資料庫,以發現意想不到的關系。

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OEIS:https://oeis.org/

人工智能可以幫助我們發現模式并形成猜想。但并非所有猜想都是一緻的。他們還需要增進我們對數學的了解。G. H. Hardy 在他 1940 年的文章《A Mathematician’s Apology》中解釋說,一個好的定理「應該是許多數學構造的組成部分,用于證明許多不同類型的定理」。

換句話說,最好的定理增加了發現新定理的可能性。幫助我們達到新的數學前沿的猜想,比那些産生較少見解的猜想更好。但區分它們需要對這個領域本身将如何發展有直覺。這種對更廣泛背景的把握,将在很長一段時間内超出人工智能的能力範圍——是以該技術将很難發現重要的猜想。

雖然有這些潛在問題,但是在數學界更廣泛地采用人工智能工具還是有很多好處的。人工智能可以提供決定性的優勢并開辟新的研究途徑。

主流數學期刊也應該多發表猜想。數學中一些最重要的問題——例如費馬大定理、黎曼假設、希爾伯特的 23 個問題和拉馬努金的衆多恒等式——以及無數不太出名的猜想塑造了該領域的發展方向。猜想為我們指明了正确的方向,進而加快了研究速度。由資料或啟發式論證支援的關于猜想的期刊文章将加速發現。

2023 年,Google DeepMind 的研究人員預測會出現 220 萬個新的晶體結構。但這些潛在的新材料中有多少是穩定的、可以合成的并具有實際應用還有待觀察。目前,這主要是人類研究人員的任務,他們掌握了材料科學的廣泛背景。

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論文連結:https://www.nature.com/articles/s41586-023-06735-9

同樣,要了解人工智能工具的輸出,就需要數學家的想象力和直覺。是以,人工智能隻會充當人類創造力的催化劑,而不是替代品。

相關内容:https://www.nature.com/articles/d41586-024-01413-w

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