数学现实主义与数学形式主义
数学哲学观点的差异在一定程度上可以用对这些新的无限性的态度来校准。
希尔伯特的观点使他与另一位著名思想家布劳威尔完全对立，从而导致了一场哲学对立。
希尔伯特认为数学是一种游戏，纯粹是按照一定的规则操作符号，这种观点被称为形式主义。
这种观点并不一定禁止把这种 "公式游戏 "解释为与现实有这样或那样的联系，但就其基本形式而言，它对有问题的数学 "实体 "的承诺要少于旧形式的数学现实主义。
柏拉图的半身大理石雕像，4 世纪
希尔伯特认为数学是一种游戏，纯粹是按照一定的规则操作符号，这种观点被称为形式主义。
这种观点并不一定禁止把这种 "公式游戏 "解释为与现实有这样或那样的联系，但就其基本形式而言，它对有问题的数学 "实体 "的承诺要少于旧形式的数学现实主义。
如柏拉图主义（这种观点自然可以追溯到柏拉图，它认为 "1 "和 "圆 "等数学对象确实作为持续存在的对象以一种独立于我们和我们对它们的理解的方式存在）。
布劳威尔以第三种方式理解数学，与上述两种观点截然不同。
戈特洛布-弗雷格的现代雕像
希尔伯特最著名的定理之一，也是他与布劳威尔之间深刻分歧的核心，就是他所谓的基点定理。
更细微的细节并不重要：令哲学家们感兴趣、令布鲁瓦反对的是希尔伯特证明该定理的方法。
希尔伯特的基点定理是一个存在定理--它的形式是 "至少有一个 X"。
数学家在证明 "至少有一个 X "时，可以采取两种方法中的一种：要么证明如何找到这样一个 X，要么证明不可能没有这样一个 X。
希尔伯特对基点定理的证明是非构造性的。布劳威尔对此表示异议：他创立并热情捍卫了一种被称为直觉主义的数学哲学方法。
贝尔纳多-斯特罗齐的《数学寓言》，17 世纪
直觉主义与建构主义
直觉主义者拒绝将数学对象，视为非由思维活动建构的事物。
对布劳威尔来说，希尔伯特使用的那种非构造证明技术存在严重问题。
反对这些非构造证明的数学哲学流派被称为构造主义。
布劳威尔
建构主义者经常反对数学中存在真正的无限，这种独立的观点被称为有限主义（还有其相当边缘的表亲--超有限主义，它甚至反对 "大到无法合理建构 "的有限对象）。
因此，希尔伯特和布劳威尔，不仅对数学对象的现实性和有效性提出了不同的观点，而且提出了截然不同的数学方法。
二人都催生了对数理逻辑本身的新研究：直觉主义逻辑研究没有排除中间律的逻辑系统，至今仍是一个活跃的研究领域。
大卫-希尔伯特
然而，更著名的是希尔伯特早期的形式主义方法，其乐观的目标是建立一个公理系统（公理是始终假定为真的初始语句），所有数学都可以从这个公理系统中推导出来，而且这个公理系统本身没有矛盾。
这些概念在数理逻辑中分别称为完备性和一致性，似乎都是对所选数学基础提出的完全合理的要求。
欧内斯特-波普的博尔扎诺雕像，1849 年
1900 年，希尔伯特发表了一份，他认为是当代数学最前沿的 23 个问题的清单。
其中第二个问题是证明他的算术公理是一致的。
这个公理系统提供了我们熟悉的基本算术结构--数字、加法、减法等。
人们希望，这套公理足以将数学的其他部分形式化。
维也纳纪念哥德尔的牌匾
哥德尔不完备性定理： 天堂里的麻烦
库尔特-哥德尔的两个不完备性定理现在已声名远播，它们证明了任何包含算术的公理系统都无法证明其自身的一致性，从而平息了对希尔伯特计划的星光般的解读。
这些定理是精确而微妙的逻辑定理，哲学家们在考虑它们对数学现实主义的影响时一直很谨慎（哥德尔本人仍是一位坚定的柏拉图主义者）。
虽然在哥德尔之后，希尔伯特的计划不一定完全停滞，但这些定理是数理逻辑的分水岭，自那以后，它们一直是无休止的哲学讨论主题。
希尔伯特的方法，既不是第一个也不是最后一个数学公理基础的方法。
当时有许多宏伟的计划。
弗雷格以及后来的罗素引领了逻辑主义方法，旨在将数学定理还原为逻辑命题。
罗素在弗雷格的方法中发现了一个著名的严重问题，他的公理之一是允许通过援引满足给定属性的所有事物的集合来创建集合。
但这一公理却陷入了一个矛盾，即现在所谓的罗素悖论：这一定律允许所有不包含自身的集合，即一个无意义的实体。
反过来，哥德尔定理似乎又给罗素自己的逻辑主义野心踩了刹车，数学家们转而采用了不那么雄心勃勃的方法。
弗雷格和罗素本身都是路德维希-维特根斯坦早期发展不可或缺的一部分，维特根斯坦的工作对数学哲学有着广泛的进一步影响，包括逻辑的地位及其与自然语言的关系。
伯特兰-罗素 1957 年的照片
老问题，新问题： 数学哲学的未来
最终，人们找到了集合论公理化问题的可行解决方案，这就是泽尔默罗-弗莱克尔公理（还有选择公理，虽然在历史上曾引起争议，但在今天看来争议不大）。
在实践中，这种本体论只包含一个对象，即集合，一切都由它构造，是当今数学家的 "默认 "选择（尽管绝不是唯一的选择）。
泽梅洛-弗莱克尔集合论，在从哲学推测到具体数学知识的道路上一路前行，它现在本身就是逻辑学家研究的数学对象。
然而，正如康托尔的集合概念，挑战了哲学家思考数学的方式一样，随着新的基础方法层出不穷，更新的抽象概念也开始挑战哲学家思考数学的方式。
随着哲学与数学之间相互作用的加深，不仅老问题依然新鲜，而且新问题也从数学的新思路中涌现出来，让哲学家们忙得不亦乐乎。
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