四位數學家打破了75年的記錄，他們找到了一種更密集的方法來堆積高維球體。
撰文 | Kelsey Houston-Edwards
翻譯 | zzllrr小樂
數學家喜歡将概念推廣到更高的次元。有時這很容易。
如果你想快捷地将二維正方形堆積在一起，可以像擺棋盤那樣排列它們。如果要将3維立方體擺在一起，那你可以像搬箱子一樣把它們堆起來。數學家可以很容易地擴充這些排列，在更高維的空間堆積立方體，使其完美地充滿空間。
堆積球體要困難得多。數學家知道如何将圓（或足球）堆積在一起，使它們之間的空隙最小。但在四維或更多的次元上，最密堆積方案完全是一個謎。（2016年解決的8維和24維除外。）
“這聽起來很簡單，”劍橋大學的數學家Julian Sahasrabudhe說。“可能有20種不同的方法可以解決這個問題。這似乎就是發生的事情——有很多不同的想法。”
已知的2維、3維、8維和24維最密球體堆積看起來像“格子”，充滿了圖形和對稱性。但在其他次元上，最好的堆積可能是完全混亂的。
“我認為，這是此問題非常誘人的一面。這個問題真的非常開放，”普林斯頓高等研究院（IAS）的數學家Akshay Venkatesh說。“我們就是不知道答案。”
2023年12月，Sahasrabudhe與他在劍橋的同僚Marcelo Campos、倫敦國王學院的Matthew Jenssen和芝加哥伊利諾伊大學的Marcus Michelen一起，為如何在所有任意高次元下最密堆積球體提供了新的方法。[1]這是75年來在一般球體堆積問題上的第一個重大進展。
“這是一段美麗的數學，”麻省理工學院的數學家趙宇飛說。“有新的、開創性的想法。”
改進基線
在二維平面上排列圓的最緊密方法是采用六邊形圖案，将圓放置在每個六邊形的角和中心。這樣的網格填充了90%以上的平面。
圖源：Samuel Velasco/Quanta Magazine
1611年，實體學家約翰内斯·開普勒（Johannes Kepler，1571-1630）想到了堆積3維球體的最優方法。對于基礎層，他将球體堆積成六邊形排列，就像圓形一樣。
然後，他在第一層球體上放置了第二層球體，填補了空隙。但随後需要做出選擇。第三層可以直接處于第一層正上方：
或者可以偏移一下：
在這兩種情況下，堆積型式都會重複；而且球體填充的空間量完全相同：大約74%。
1831年，19世紀最傑出的數學家之一卡爾·弗裡德裡希·高斯（Carl Friedrich Gauss，1777-1855）證明了開普勒的構型是最好的格（lattice，重複的網格結構），但他不能排除掉某種不規則排列的可能性，因為它可能是更密的堆積（該可能性最終在千禧年之交被排除在外）。
在更高的次元上，數學家們束手無策。然後，在2016年，Maryna Viazovska（1984-）利用八維空間特有的對稱性的存在，證明特定格是最優的。她還與合作者合作，将證明推廣到24維。她因這項工作獲得了2022年菲爾茲獎，這是數學界的最高獎項。（編者注：參見《攻克高維版本球堆積問題——烏克蘭女數學家獲得2022菲爾茲獎》《 “拉馬努金複生才能解決”：E₈格與裝球問題》）
微軟研究院的數學家Henry Cohn說：“我喜歡[裝球堆積]的一點是，它是一條連接配接數學、計算機科學和實體學中許多不同領域的線索。”他與Viazovska合作研究了24維的證明。
這些已知的最優堆積——1維、2維、3維、8維和24維——似乎并不能推廣到更高的次元。在更高的次元上，數學家不知道最優排列會填充多少百分比的空間。取而代之的是，他們試圖近似它。
在任何次元中，如果你從一個非常大的盒子開始，然後連續地用球填充它，在你找到足夠大的開口的地方粘一個球——那麼球體将至少占據盒子體積的1/2ᵈ，其中d是空間的維數。是以，在2維空間中，它們将填充至少1/4的空間，而在3維空間中，它們将填充至少1/8的空間，依此類推。在相對較小的次元中，數學家通常知道特定的堆積比這個一般界限要好得多（例如，開普勒的3維堆積占據了74%的空間，遠遠超過最低的12.5%。但1/2ᵈ這個基線很有用，因為它适用于所有次元。）。
左起Marcus Michelen、Marcelo Campos、Julian Sahasrabudhe和Matthew Jenssen，在Sahasrabudhe的劍橋辦公室，在為期一個月的通路的最後一天，他們打破了保持了75年的裝球堆積記錄。丨圖源：Julia Wolf
“這是一種基線，”趙宇飛說。建立推廣到任意次元的更好基線的進展緩慢。
1905年，數學家赫爾曼·闵可夫斯基（Hermann Minkowski，1864-1909）證明，在任意次元中，存在一個格，通過在格上的每一點放置一個球體，可以裝入兩倍于基線數量的球。
下一個實質性的進展發生在1947年，當時英國數學家克勞德·安布羅斯·羅傑斯（Claude Ambrose Rogers，1920-2005）提出了一個更好的格。闵可夫斯基對基線的改進是通過一個常數因子，而羅傑斯的方案是對基線的“漸近”（asymptotic）改進，這意味着随着次元數量的增加，堆積效率的差異也會增加。在50維，羅傑斯可以堆積的空間大約是基線的50倍，但在1000維，他的堆積大約是基線的1000倍。
在過去的75年裡，有一些結果是在羅傑斯的堆積上有了一個常數倍的改進，但直到現在，還沒有人能夠找到一種在所有次元上都适用的漸近改進。
連接配接點
Campos、Jenssen、Michelen和Sahasrabudhe四人在疫情初期就開始合作，他們每天在Zoom上開會數小時——盡管一開始并沒有讨論這個問題。在2023年秋天第一次見面之前，他們共同撰寫了三篇論文，當時Jenssen和Michelen來到劍橋進行了為期一個月的通路。這時，他們把目光投向了裝球堆積問題。
“在那段時間裡，我們才開始，接着基本上完成了裝球堆積問題，”Michelen說。“這絕對是非常快的，從某種程度上來說，這有點出乎意料。
Maryna Viazovska使用8維和24維特有的對稱性來證明最密裝球堆積的存在性。丨圖源：2022 EPFL/Fred Merz – CC-BY-SA 4.0
數學家使用圖論來解決這個問題，圖是由邊（線）連接配接的頂點（點）的集合。圖經常被用于組合學和機率論，這正是上述作者的主要研究領域。幾乎所有裝球密度的下限都來自對格結構的研究。但最近的論文使用圖論來建立高度無序的堆積——這是一種非常不同的方法。
“當我們第一次開始談論它時，它似乎有點吓人，”Sahasrabudhe說。“我們意識到可以将其模組化為圖。然後我們開始感覺更自在了。”
為了建立堆積，他們首先在空間中随機散布點。這些點最終将成為堆積球體的中心。然後，他們在任何兩個彼此太近的點之間畫線，以這兩點為中心的球體會重疊。
從這個圖中，他們想提取一個獨立集（independent set），即沒有兩個頂點由一條邊連接配接的頂點集合，如下圖紅點所示。如果他們在獨立集的所有點上畫球，球就不會重疊。這樣就會形成一種裝球堆積。
建立一個稀疏的獨立集很容易，隻需從圖中相距較遠的區域抓取幾個頂點即可。但是，要制造一個密集的球體堆積，包含盡可能多的球，他們需要一個非常大的獨立集。他們的挑戰是使用原始圖中的大部分頂點提取出一個獨立的集合。
為此，他們使用了一種稱為Rödl nibble的技術（譯者注：Vojtěch Rödl是捷克裔美國數學家，nibble表示小口咬，即蠶食，其方法接近随機貪婪算法，參閱《小樂數學科普：數學家在常見的空間類型中發現隐藏的結構——譯自Quanta Magazine量子雜志》），其中疊代删除（或“nibble”）圖的片段。
“這是一種超級有影響力的技術，”Sahasrabudhe說。“它可以追溯到上世紀80年代，但在過去的10到15年裡，大家真的一直在錘煉它。”
他們首先周遊圖中的每個頂點。在每一點，他們（比喻而言）抛出一枚硬币，硬币反面的重量很大。如果硬币翻轉落下來是反面，他們什麼也不做。如果它落下來是正面，他們就會删除頂點并将其添加到一個新圖中。
這個“Nibble”過程使用原始圖的相對較小的部分建立了一個獨立集。但是這個獨立集還不夠大。是以，他們重複了這個過程，從原始圖中“蠶食”了更多的部分，并将它們添加到新圖中。最後，他們得到了原始圖的一個大的獨立集，而這正是他們想要的。
這一進步是證明的最後一個組成部分。憑借大的獨立集，他們在更高次元上創造了已知最密集的裝球堆積，并首次對羅傑斯界限進行了漸近改進。“這篇新論文讓我感到驚訝的是，它是一個多麼美好、簡單的想法，”佐治亞理工學院的理論計算機科學家Will Perkins表示。
雖然新結果是一個重大改進，但這并不是最終答案。沒有人知道新的裝球堆積與最密堆積有多接近。
2010年，實體學家Francesco Zamponi和Giorgio Parisi提出理論，最好的“無定形”（amorphous）或無序的裝球堆積的密度将是最近突破的兩倍。是以，數學家們可能已經接近了球體以無序方式堆積的極限。不過，有規則的裝球堆積密度也有可能大大提高。
在常年的秩序與混亂之争中，新的裝球堆積為無序加上了1分。但數學家們對有序還是無序會勝出仍沒有定論。
“在這種情況下，我認為這是一個真正的謎，”Perkins說。
注釋
[1] https://arxiv.org/abs/2312.10026
本文經授權轉自“zzllrr小樂”公衆号，原标題《小樂數學科普：為了将球體緊密堆積起來，數學家們會随機抛出它們——譯自Quanta Magazine》；《返樸》對譯文進行了校訂。本文譯自Kelsey Houston-Edwards ，To Pack Spheres Tightly, Mathematicians Throw Them at Random，原文連結：https://www.quantamagazine.org/to-pack-spheres-tightly-mathematicians-throw-them-at-random-20240430/。
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