1.5 群的同構

§5 群的同構

定義1.5.1（同構）

設 G G G 和 G ′ G' G′ 是兩個群。若有一個從 G G G 到 G ′ G' G′ 的雙射 σ \sigma σ ，它對于所有的 x , y ∈ G x,y \in G x,y∈G 有

σ ( x y ) = σ ( x ) σ ( y ) \sigma(xy) = \sigma(x) \sigma(y) σ(xy)=σ(x)σ(y)

則稱 G G G 同構于 G ′ G' G′ 。具有以上性質的雙射稱為 G G G 到 G ′ G' G′ 的一個同構映射，或簡稱同構。

注：

1. 由定義顯見：同構映射将機關元素映到機關元素，将逆元素映到逆元素。
2. 群的同構作為群之間的一種關系，滿足自反性、對稱性和傳遞性。
3. 在同構映射下，對應的元素在各自的運算下具有相同的代數性質。
4. 在抽象地研究一個群時，無需對同構的群加以差別。

在曆史上，群論最早研究的就是變換群，抽象群的概念也是從變換群的概念中抽象而來的。

定理1.5.1（Cayley定理）

任何一個群都同構于某一集合上的變換群。

證明

設 G G G 是一個群。對于每個 a ∈ G a \in G a∈G ，定義同一個集合 G G G 的變換 σ a \sigma_{a} σa​ 如下：

σ a ( x ) = a x , x ∈ G . \sigma_{a}(x) = ax, x \in G. σa​(x)=ax,x∈G.

先證明 σ a \sigma_{a} σa​ 是 G G G 的可逆變換。顯然：

σ α − 1 σ α ( x ) = σ α − 1 ( a x ) = a − 1 a x = x , \sigma_{\alpha^{-1}} \sigma_{\alpha} (x) = \sigma_{\alpha^{-1}}(ax)= a^{-1}ax=x, σα−1​σα​(x)=σα−1​(ax)=a−1ax=x,

σ α σ α − 1 ( x ) = σ α ( a − 1 x ) = a a − 1 x = x . \sigma_{\alpha} \sigma_{\alpha^{-1}}(x) = \sigma_{\alpha}(a^{-1}x)= aa^{-1}x=x. σα​σα−1​(x)=σα​(a−1x)=aa−1x=x.

也就是說， σ α σ α − 1 ( x ) \sigma_{\alpha} \sigma_{\alpha^{-1}}(x) σα​σα−1​(x) 和 σ α − 1 σ α \sigma_{\alpha^{-1}} \sigma_{\alpha} σα−1​σα​ 都是機關變換。即：

σ α − 1 = σ α − 1 , \sigma^{-1}_{\alpha} = \sigma_{\alpha^{-1}}, σα−1​=σα−1​,

是以 σ a \sigma^{a} σa 是可逆變換。

這樣，我們即得到集合 G G G 的一些可逆變換所組成的集合：

G l = { σ a ∣ a ∈ G } . G^{l} = \{\sigma_{a} | a \in G\}. Gl={σa​∣a∈G}.

下證 G l G_{l} Gl​ 是變換群:

對于 σ a , σ b ∈ G l \sigma_{a},\sigma_{b} \in G_{l} σa​,σb​∈Gl​，有：

σ a σ b − 1 ( x ) = σ a σ b − 1 ( x ) = a b − 1 ( x ) = σ a b − 1 ( x ) , \sigma_{a} \sigma_{b}^{-1} (x) = \sigma_{a}\sigma_{b^{-1}}(x) = ab^{-1}(x)= \sigma_{ab^{-1}}(x), σa​σb−1​(x)=σa​σb−1​(x)=ab−1(x)=σab−1​(x),

即：

σ a σ b − 1 = σ a b − 1 ∈ G l , \sigma_{a}\sigma_{b}^{-1} = \sigma_{ab^{-1}} \in G_{l}, σa​σb−1​=σab−1​∈Gl​,

由定理1.4.1知： G l G_{l} Gl​ 是一變換群。下證同構：

因為

σ a ( e ) = a , \sigma_{a}(e) = a, σa​(e)=a,

故當 a ≠ b a \neq b a​=b 時， σ a ≠ σ b . \sigma_{a} \neq \sigma_{b}. σa​​=σb​. 這說明：映射

a ↦ σ a a \mapsto \sigma_{a} a↦σa​

為 G G G 到 G l G_{l} Gl​ 的一個一一對應。由

σ a σ b = σ a b \sigma_{a}\sigma_{b} = \sigma_{ab} σa​σb​=σab​

知上面的映射是一個同構。定理證畢。 ■ \blacksquare ■

定義1.5.2（平移和正則表示）

稱變換 σ a \sigma_{a} σa​ 為元素 a a a 在 G G G 上引起的 左平移，變換群 G l G_{l} Gl​ 稱為群 G G G 的

左正則表示。

若定義右平移

τ a ( x ) = x a − 1 \tau_{a}(x) = xa^{-1} τa​(x)=xa−1

則 G r = { τ a ∣ a ∈ G } G_{r}=\{\tau_{a} | a \in G \} Gr​={τa​∣a∈G} 稱為 G G G 的右正則表示。