1.5 群的同构

§5 群的同构

定义1.5.1（同构）

设 G G G 和 G ′ G' G′ 是两个群。若有一个从 G G G 到 G ′ G' G′ 的双射 σ \sigma σ ，它对于所有的 x , y ∈ G x,y \in G x,y∈G 有

σ ( x y ) = σ ( x ) σ ( y ) \sigma(xy) = \sigma(x) \sigma(y) σ(xy)=σ(x)σ(y)

则称 G G G 同构于 G ′ G' G′ 。具有以上性质的双射称为 G G G 到 G ′ G' G′ 的一个同构映射，或简称同构。

注：

1. 由定义显见：同构映射将单位元素映到单位元素，将逆元素映到逆元素。
2. 群的同构作为群之间的一种关系，满足自反性、对称性和传递性。
3. 在同构映射下，对应的元素在各自的运算下具有相同的代数性质。
4. 在抽象地研究一个群时，无需对同构的群加以区别。

在历史上，群论最早研究的就是变换群，抽象群的概念也是从变换群的概念中抽象而来的。

定理1.5.1（Cayley定理）

任何一个群都同构于某一集合上的变换群。

证明

设 G G G 是一个群。对于每个 a ∈ G a \in G a∈G ，定义同一个集合 G G G 的变换 σ a \sigma_{a} σa​ 如下：

σ a ( x ) = a x , x ∈ G . \sigma_{a}(x) = ax, x \in G. σa​(x)=ax,x∈G.

先证明 σ a \sigma_{a} σa​ 是 G G G 的可逆变换。显然：

σ α − 1 σ α ( x ) = σ α − 1 ( a x ) = a − 1 a x = x , \sigma_{\alpha^{-1}} \sigma_{\alpha} (x) = \sigma_{\alpha^{-1}}(ax)= a^{-1}ax=x, σα−1​σα​(x)=σα−1​(ax)=a−1ax=x,

σ α σ α − 1 ( x ) = σ α ( a − 1 x ) = a a − 1 x = x . \sigma_{\alpha} \sigma_{\alpha^{-1}}(x) = \sigma_{\alpha}(a^{-1}x)= aa^{-1}x=x. σα​σα−1​(x)=σα​(a−1x)=aa−1x=x.

也就是说， σ α σ α − 1 ( x ) \sigma_{\alpha} \sigma_{\alpha^{-1}}(x) σα​σα−1​(x) 和 σ α − 1 σ α \sigma_{\alpha^{-1}} \sigma_{\alpha} σα−1​σα​ 都是单位变换。即：

σ α − 1 = σ α − 1 , \sigma^{-1}_{\alpha} = \sigma_{\alpha^{-1}}, σα−1​=σα−1​,

因此 σ a \sigma^{a} σa 是可逆变换。

这样，我们即得到集合 G G G 的一些可逆变换所组成的集合：

G l = { σ a ∣ a ∈ G } . G^{l} = \{\sigma_{a} | a \in G\}. Gl={σa​∣a∈G}.

下证 G l G_{l} Gl​ 是变换群:

对于 σ a , σ b ∈ G l \sigma_{a},\sigma_{b} \in G_{l} σa​,σb​∈Gl​，有：

σ a σ b − 1 ( x ) = σ a σ b − 1 ( x ) = a b − 1 ( x ) = σ a b − 1 ( x ) , \sigma_{a} \sigma_{b}^{-1} (x) = \sigma_{a}\sigma_{b^{-1}}(x) = ab^{-1}(x)= \sigma_{ab^{-1}}(x), σa​σb−1​(x)=σa​σb−1​(x)=ab−1(x)=σab−1​(x),

即：

σ a σ b − 1 = σ a b − 1 ∈ G l , \sigma_{a}\sigma_{b}^{-1} = \sigma_{ab^{-1}} \in G_{l}, σa​σb−1​=σab−1​∈Gl​,

由定理1.4.1知： G l G_{l} Gl​ 是一变换群。下证同构：

因为

σ a ( e ) = a , \sigma_{a}(e) = a, σa​(e)=a,

故当 a ≠ b a \neq b a​=b 时， σ a ≠ σ b . \sigma_{a} \neq \sigma_{b}. σa​​=σb​. 这说明：映射

a ↦ σ a a \mapsto \sigma_{a} a↦σa​

为 G G G 到 G l G_{l} Gl​ 的一个一一对应。由

σ a σ b = σ a b \sigma_{a}\sigma_{b} = \sigma_{ab} σa​σb​=σab​

知上面的映射是一个同构。定理证毕。 ■ \blacksquare ■

定义1.5.2（平移和正则表示）

称变换 σ a \sigma_{a} σa​ 为元素 a a a 在 G G G 上引起的 左平移，变换群 G l G_{l} Gl​ 称为群 G G G 的

左正则表示。

若定义右平移

τ a ( x ) = x a − 1 \tau_{a}(x) = xa^{-1} τa​(x)=xa−1

则 G r = { τ a ∣ a ∈ G } G_{r}=\{\tau_{a} | a \in G \} Gr​={τa​∣a∈G} 称为 G G G 的右正则表示。