方向導數和梯度

1. 方向導數

方向導數，描述函數沿指定方向的變化率。

若函數 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y)在點 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_0(x_0,y_0) P0​(x0​,y0​)處可微，則函數在該點沿任一方向 l l l的方向導數存在，且有

∂ f ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 ) = f x ( x 0 , y 0 ) cos ⁡ α + f y ( x 0 , y 0 ) cos ⁡ β \frac{\partial f}{\partial l} \Big |_{(x_0,y_0)}=f_x(x_0,y_0)\cos\alpha + f_y(x_0,y_0)\cos\beta ∂l∂f​∣∣∣​(x0​,y0​)​=fx​(x0​,y0​)cosα+fy​(x0​,y0​)cosβ

其中 cos ⁡ α \cos \alpha cosα和 cos ⁡ β \cos \beta cosβ是方向 l l l的方向餘弦。

可微、全微分、偏導數

若函數 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在點 ( x , y ) (x,y) (x,y)的某鄰域内有定義，函數在點 ( x , y ) (x, y) (x,y)處的全增量 Δ z = f ( x + Δ x , y + Δ y ) − f ( x , y ) \Delta z = f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x,y) Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)，可表示為 Δ z = A Δ x + B Δ y + o ( ρ ) , ρ = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 \Delta z = A\Delta x + B\Delta y + o(\rho), \quad \rho=\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} Δz=AΔx+BΔy+o(ρ),ρ=(Δx)2+(Δy)2

​

其中 A A A、 B B B不依賴于 Δ x \Delta x Δx、 Δ y \Delta y Δy，且僅與 x x x、 y y y有關，則稱函數 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在 ( x , y ) (x,y) (x,y)處可微分，全微分 d z = A Δ x + B Δ y \mathrm dz=A\Delta x + B\Delta y dz=AΔx+BΔy。

（必要條件）若函數 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在點 ( x , y ) (x,y) (x,y)處可微分，則函數 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在點 ( x , y ) (x,y) (x,y)的偏導數 ∂ z ∂ x \dfrac{\partial z}{\partial x} ∂x∂z​、 ∂ z ∂ y \dfrac{\partial z}{\partial y} ∂y∂z​必定存在，此時全微分

d z = ∂ z ∂ x Δ x + ∂ z ∂ y Δ y y ⟺ d z = ∂ z ∂ x d x + ∂ z ∂ y d y \mathrm dz=\dfrac{\partial z}{\partial x} \Delta x + \dfrac{\partial z}{\partial y} \Delta yy \quad \Longleftrightarrow \quad \mathrm dz = \dfrac{\partial z}{\partial x} \mathrm dx + \dfrac{\partial z}{\partial y} \mathrm dy dz=∂x∂z​Δx+∂y∂z​Δyy⟺dz=∂x∂z​dx+∂y∂z​dy

（充分條件）若函數 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)的偏導數 ∂ z ∂ x \dfrac{\partial z}{\partial x} ∂x∂z​、 ∂ z ∂ y \dfrac{\partial z}{\partial y} ∂y∂z​在點 ( x , y ) (x,y) (x,y)處連續，則函數 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在點 ( x , y ) (x,y) (x,y)處可微。

綜上所述：可微    ⟹    \implies ⟹ 偏導存在 \quad 偏導存在且連續    ⟹    \implies ⟹ 可微

證明：方向導數

由 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y)在點 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_0(x_0,y_0) P0​(x0​,y0​)處可微，故

f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) = f x ( x 0 , y 0 ) Δ x + f y ( x 0 , y 0 ) Δ y + o ( ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 ) f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)\Delta x + f_y(x_0,y_0)\Delta y +o(\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}) f(x0​+Δx,y0​+Δy)−f(x0​,y0​)=fx​(x0​,y0​)Δx+fy​(x0​,y0​)Δy+o((Δx)2+(Δy)2

​)

且 Δ x = t cos ⁡ α \Delta x=t\cos\alpha Δx=tcosα， Δ y = t cos ⁡ β \Delta y=t\cos\beta Δy=tcosβ， Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 = t \sqrt{\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}=t Δx)2+(Δy)2

​=t，是以方向導數

lim ⁡ t → 0 + f x ( x 0 , y 0 ) t cos ⁡ α + f y ( x 0 , y 0 ) t cos ⁡ β t = f x ( x 0 , y 0 ) cos ⁡ α + f y ( x 0 , y 0 ) cos ⁡ β \lim_{t \to 0^+}\frac{f_x(x_0,y_0)t\cos\alpha+f_y(x_0,y_0)t\cos\beta}{t}=f_x(x_0,y_0)\cos\alpha + f_y(x_0,y_0)\cos\beta t→0+lim​tfx​(x0​,y0​)tcosα+fy​(x0​,y0​)tcosβ​=fx​(x0​,y0​)cosα+fy​(x0​,y0​)cosβ

例題

求 f ( x , y , z ) = x y + y z + z x f(x,y,z)=xy+yz+zx f(x,y,z)=xy+yz+zx在點 ( 1 , 1 , 2 ) (1,1,2) (1,1,2)沿方向 l l l的方向導數，其中 l l l的方向角分别為 6 0 ∘ 60^\circ 60∘、 4 5 ∘ 45^\circ 45∘、 6 0 ∘ 60^\circ 60∘。

解：

與 l l l同向的機關向量 e l = ( 1 2 , 2 2 , 1 2 ) \bm e_l=(\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt 2}{2}, \dfrac{1}{2}) el​=(21​,22

​​,21​)，因為函數可微，故

f x ( 1 , 1 , 2 ) = 3 , f y ( 1 , 1 , 2 ) = 3 , f z ( 1 , 1 , 2 ) = 2 f_x(1,1,2)=3, \quad f_y(1,1,2)=3, \quad f_z(1,1,2)=2 fx​(1,1,2)=3,fy​(1,1,2)=3,fz​(1,1,2)=2

是以

∂ f ∂ l ∣ ( 1 , 1 , 2 ) = 3 ⋅ 1 2 + 3 ⋅ 2 2 + 2 ⋅ 1 2 = 1 2 ( 5 + 3 2 ) . \frac{\partial f}{\partial l}\Big|_{(1,1,2)}=3\cdot\frac{1}{2} + 3\cdot\frac{\sqrt 2}{2} + 2\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{2}(5+3\sqrt 2). ∂l∂f​∣∣∣​(1,1,2)​=3⋅21​+3⋅22

​​+2⋅21​=21​(5+32

​).

2. 梯度

對于二進制函數，設函數 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在平面區域 D D D内具有一階連續偏導，則對于每一點 P 0 ( x 0 , y 0 ) ∈ D P_0(x_0,y_0)\in D P0​(x0​,y0​)∈D，定義向量

f x ( x 0 , y 0 ) i + f y ( x 0 , y 0 ) j f_x(x_0, y_0)\bm i + f_y(x_0,y_0)\bm j fx​(x0​,y0​)i+fy​(x0​,y0​)j

稱為函數 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在點 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_0(x_0,y_0) P0​(x0​,y0​)處的梯度，記作 g r a d   f ( x 0 , y 0 ) {\bf{grad}} \,f(x_0,y_0) gradf(x0​,y0​)或 ∇ f ( x 0 , y 0 ) \nabla f(x_0,y_0) ∇f(x0​,y0​)。

3. 方向導數與梯度關系

若函數 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在點 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_0(x_0,y_0) P0​(x0​,y0​)處可微分，與方向 l l l同方向的機關向量 e l = ( cos ⁡ α , cos ⁡ β ) \bm e_l=(\cos \alpha, \cos\beta) el​=(cosα,cosβ)，則

∂ f ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 ) = f x ( x 0 , y 0 ) cos ⁡ α + f y ( x 0 , y 0 ) cos ⁡ β = g r a d   f ( x 0 , y 0 ) ⋅ e l = ∣ g r a d   f ( x 0 , y 0 ) ∣ ⋅ cos ⁡ θ \begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial l}\Big|_{(x_0,y_0)} & =f_x(x_0,y_0)\cos\alpha +f_y(x_0,y_0)\cos\beta \\ &={\bf{grad}}\,f(x_0,y_0)\cdot \bm e_l = |{\bf{grad}}\,f(x_0,y_0)|\cdot \cos \theta \end{aligned} ∂l∂f​∣∣∣​(x0​,y0​)​​=fx​(x0​,y0​)cosα+fy​(x0​,y0​)cosβ=gradf(x0​,y0​)⋅el​=∣gradf(x0​,y0​)∣⋅cosθ​

式中， θ \theta θ為梯度與方向 l l l的夾角。

（1）當 θ = 0 \theta=0 θ=0，方向 l l l與梯度方向同向，函數 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)增長最快；

（2）當 θ = π \theta=\pi θ=π，方向 l l l與梯度方向相反，函數 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)減少最快；

（3）當 θ = π / 2 \theta=\pi/2 θ=π/2，方向 l l l與梯度方向正交，函數 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)變化率為0；