（三）【矩陣論】（子空間）常見子空間|基擴張定理|和空間與交空間|直和

​​【矩陣論專欄】​​

文章目錄

• ​​A 子空間定義​​
• ​​B 常見的子空間​​
• ​​C 基擴張定理​​
• ​​D 和空間與交空間​​
• ​​E 直和​​

A 子空間定義

<1> 定義1（子空間）：設是數域上的線性空間，是的子集，若對中的任意元素,,及數,按中的加法和數乘有：則也是數域上的線性空間，稱為的線性子空間，簡稱子空間

注：

• 由單個零元素組成的子集是線性子空間；

• 線性空間是線性子空間。

  與是稱為的平凡子空間。

• dim{0}=1

B 常見的子空間

<1> 設是一給定的實矩陣，記則稱是的子空間，稱為的零空間。

則是的子空間，稱為A的列空間。基礎解析的個數等于

。

<2> 設是線性空間的一向量組，記則是的子空間，稱為由張成的子空間。

即把所有的線性組合形成的向量放在一起，形成的集合。解決了抽象線性空間中子集(即子空間)的描述。

注：

• 若是子空間的基，則有
• 設,記,其中.則有

<3>例題：

C 基擴張定理

<1>定理1 設4是中一組線性無關向量，則存在中個向量,使得構成的基。

D 和空間與交空間

<1>設和均是線性空間的子空間

• 不是線性空間的子空間。

  

由定義1，對加法不封閉。

• 是仍然是線性空間的子空間。

  

<2>定義2（和空間和交空間）：設與是線性空間的兩個子空間，令

稱為與的交空間。

稱為與的和空間。

注：

• ；
• 設

<3> 定理2（維數公式)設與是線性空間的兩個子空間，則有：

例題：

修改：

和空間中的向量一定可以分解成兩個向量之和，其中一個向量屬于,另一個輸入,即

例子：

E 直和

<1> 定義3（直和）設中的任一向量隻能唯一地分解為中的一個向量與中的一個向量之和，則稱為與的直和，記為：.

<2>定理3（直和等價條件）：

• 1)
• 2)
• 3)
• 4).

  

例題：