投影矩陣
- 1.投影與投影矩陣
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- 1.1定義
- 1.2充要條件
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- 1.2.1引理
- 1.2.2定理
- 1.3投影矩陣的構造
1.投影與投影矩陣
上課感覺自己聽的還可以，下來算的時候就
1.1定義
設 L , M L,M L,M是 C n C^n Cn的子空間并且有 L + M = L ⊕ U = C n L+M=L\oplus U=C^n L+M=L⊕U=Cn,即 ∀ x ∈ C n , ∃ 唯 一 y ∈ L , z ∈ M , 使 得 x = y + z \forall x\in C^n,\exists 唯一y\in L,z\in M,使得x=y+z ∀x∈Cn,∃唯一y∈L,z∈M,使得x=y+z，稱y為x研M到L的投影，也稱為投影算子
1.2充要條件
1.2.1引理
設E為n階幂等矩陣，那麼有 N ( P ) = R ( I − P ) N(P)=R(I-P) N(P)=R(I−P)
說明：
- 幂等矩陣：形如 A 2 = A A^2=A A2=A的矩陣
- N ( E ) = { x ∣ E x = 0 , x ∈ C n } N(E)=\{ x|Ex=0,x\in C^n \} N(E)={x∣Ex=0,x∈Cn}
- R ( E ) = { y ∣ y = E x , x ∈ C n } R(E)=\{ y|y=Ex,x\in C^n\} R(E)={y∣y=Ex,x∈Cn}注意值域
證明：
P 2 = P → P ( I − P ) = O → ∀ x ∈ C n , P ( I − P ) x = 0 P^2=P\rightarrow P(I-P)=O\rightarrow\forall x\in C^n,P(I-P)x=0 P2=P→P(I−P)=O→∀x∈Cn,P(I−P)x=0 上式可以寫為 P ( R ( I − P ) ) = 0 P(R(I-P))=0 P(R(I−P))=0即 R ( I − P ) R(I-P) R(I−P)的值域包含在 N ( P ) N(P) N(P)中。接下來有,對于 ∀ P x = 0 , \forall Px=0, ∀Px=0, x = I x − P x = ( I − P ) x ∈ R ( 1 − P ) x=Ix-Px =(I-P)x\in R(1-P) x=Ix−Px=(I−P)x∈R(1−P)即 N ( P ) ⊂ R ( I − P ) N(P)\subset R(I-P) N(P)⊂R(I−P)
綜上，得證。了解 R ( p ) R(p) R(p)的值域的含義很關鍵
1.2.2定理
n階方陣P成為投影矩陣的充要條件是P為幂等矩陣（投影的子空間為 R ( P ) , N ( P ) R(P),N(P) R(P),N(P)）
證明：
充分性：
分析：成為投影矩陣需要滿足 R ( P ) + N ( P ) = C n R(P)+N(P)=C^n R(P)+N(P)=Cn且 R ( P ) ⋂ N ( P ) = { 0 } R(P)\bigcap N(P)=\{0\} R(P)⋂N(P)={0}
首先證明第一點：
∵ ∀ x ∈ C n 有 \because \forall x\in C^n有 ∵∀x∈Cn有 x = x + P x − P x = P x + ( I − P ) x x=x+Px-Px=Px+(I-P)x x=x+Px−Px=Px+(I−P)x ∵ P x ∈ R ( P ) , ( I − P ) x ∈ R ( I − P ) = N ( P ) \because Px\in R(P), (I-P)x\in R(I-P)=N(P) ∵Px∈R(P),(I−P)x∈R(I−P)=N(P) ∴ R ( P ) + N ( P ) = C n \therefore R(P)+N(P)=C^n ∴R(P)+N(P)=Cn 接下來證明 R ( P ) ⋂ N ( P ) = { 0 } R(P)\bigcap N(P)=\{0\} R(P)⋂N(P)={0}
一方面， x ∈ R ( P ) , x = P u x\in R(P),x=Pu x∈R(P),x=Pu另一方面 x ∈ N ( P ) ， P x = O x\in N(P)，Px=O x∈N(P)，Px=O P x = O = P 2 u = P u = x = 0 ( P u = x 說 明 x 是 在 R ( P ) 之 中 的 ) Px=O= P^2u=Pu =x=0(Pu=x說明x是在R(P)之中的) Px=O=P2u=Pu=x=0(Pu=x說明x是在R(P)之中的) ∴ R ( P ) ⋂ N ( P ) = { 0 } \therefore R(P)\bigcap N(P)=\{0\} ∴R(P)⋂N(P)={0}充分性得證
接下來證明必要性：
∵ ∀ x ∈ C n , ∃ 唯 一 分 解 有 y ∈ L , z ∈ M 使 得 x = y + z 且 P x = y \because \forall x\in C^n,\exists 唯一分解有 y\in L,z\in M 使得x=y+z且Px=y ∵∀x∈Cn,∃唯一分解有y∈L,z∈M使得x=y+z且Px=y P 2 x = P y = y = P x ( 對 于 y , 有 唯 一 分 解 y = y + o ) P^2x= Py =y =Px (對于y,有唯一分解y=y+o) P2x=Py=y=Px(對于y,有唯一分解y=y+o) ∴ P 2 = P \therefore P^2=P ∴P2=P必要性得證
1.3投影矩陣的構造
依據 P y = y Py=y Py=y
X = [ x 1 , x 2 , . . . , x r ] X=[x_1,x_2,...,x_r] X=[x1,x2,...,xr]是L的一組基, Y = [ y 1 , y 2 , . . . , y n − r ] Y=[y_1,y_2,...,y_{n-r}] Y=[y1,y2,...,yn−r]是M的一組基。那麼有 P L , M [ X Y ] = [ X O ] P_{L,M}[XY]=[XO] PL,M[XY]=[XO]是以 P L , M = [ X O ] [ X Y ] − 1 P_{L,M}=[XO][XY]^{-1} PL,M=[XO][XY]−1