（四）【矩陣論】（線性變換）線性變換的定義|線性變換的矩陣表示|零空間與值空間

​​【矩陣論專欄】​​

文章目錄

• ​​A 線性變換的定義​​
• ​​B 線性變換的矩陣表示​​
• ​​C 零空間與值空間​​

A 線性變換的定義

（1）定義1（線性變換）設是同一數域上的線性空間，是的映射，若對中任意向量，以及數域中任意元素，有：

則稱為線性空間到的線性變換（或線性算子）。

例1：

例2：

例3：

B 線性變換的矩陣表示

設是的線性變換，與分别是與的基。

因為設在基下的坐标為：即有，i=1,2,…,n.

記

則有：

其中

：每一列對應的都是

定義2 稱矩陣為線性變換在基偶下的矩陣。若是（自身）的線性變換，則取，此時是方陣，簡稱為在基下的矩陣。

其中是在像空間下的坐标。

基到基的過渡矩陣P與線性變換在基偶下的矩陣A的聯系：

• 共同點：它們的每一列都是向量的坐标。

• 不同：過渡矩陣是另外一個基的每個向量在原來那個基下的坐标。線性變換原像空間裡面那個基裡的向量做完線性變換後在像空間這個基下的坐标。P是同一個空間下基之間坐标的關系。A是不同空間之間的。

  例子：

  

  從A可以看出使得向量在方向擴大十倍，在其他方向不變。

例子：

2)中的：取A第一列

C 零空間與值空間

（1）定義3（零空間和值空間）設是的線性變換，記稱為T的零空間（核）

稱為T的值空間（值域）

易知，是的子空間；是的子空間。

（2）定義4（零度與秩）設是的線性變換，記稱的零度,

稱為的秩。

（3）定理1設是的線性變換，與分别是與的基，在基偶下的矩陣為，則有：

例題：

（4）求零空間與值空間的基的一般方法：

設是的線性變換，與分别是與的基。

1）求零空間的基：

• 先求出在基偶下的矩陣;
• 求出齊次線性方程組的基礎解析：
• 則為的基。

2）求值空間的基：

• 先求出基中向量變換後的像的極大線性無關組即為

例子：