【線性代數】矩陣及其運算

矩陣

一、矩陣的定義

已知$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_22 & \cdots & a_2 \ \vdots & \vdots &  & \vdots \ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}$，這$m\times n$個數稱為矩陣$A$的元素，簡稱為元，數$a_{ij}$位于矩陣$A$的第$i$行第$j$列，稱為矩陣$A$的$(i,j)$元。以數$a_{ij}$為$(i,j)$元的矩陣可簡記作$(a_{ij})$或$(a_{ij}){m\times n}$，$m\times n$的矩陣$A$也記作$A{m\times n}$

當兩個矩陣的行數相同，列數也相同時，則稱它們是同型矩陣

二、線性變換的定義

$n$個變量$x_1,x_2,\cdots,x_n$與$m$個變量$y_1,y_2,\cdots,y_n$之間的關系式$\begin{cases}y_1=a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n\y_2=a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n\\cdots\y_m=a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n\end{cases}$表示從一個變量$x_1,x_2,\cdots,x_n$到變量$y_1,y_2,\cdots,y_m$的線性變換，其中$a_{ij}$為常數，線性變換的系數$a_{ij}$構成矩陣$A=(a_{ij})_{m\times n}$

三、幾種特殊的矩陣

1. 零矩陣

元素都是零的矩陣稱為零矩陣，記作$O$

2. 對角矩陣

$\Lambda=\begin{pmatrix}\lambda_1&0&\cdots&0\0&\lambda_2&\cdots&0\\vdots&\vdots&&\vdots\0&0&\cdots&\lambda_n\end{pmatrix}$

這個方陣的特點是：不在對角線上的元素都是$0$，我們把這種方陣稱為對角矩陣，簡稱對角陣，對角陣也記作$\Lambda=diag(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)$

$\Lambda^n=\begin{pmatrix}\lambda_1^n&0&\cdots&0\0&\lambda_2^n&\cdots&0\\vdots&\vdots&&\vdots\0&0&\cdots&\lambda_n^n\end{pmatrix}$

3. 機關矩陣

我們把$E=\begin{pmatrix}1 & 0 & \cdots & 0 \ 0 & 1 & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots &  & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & 1\end{pmatrix}$

這個方陣的特點是：從左上角到右下角的直線（叫做（主）對角線）上的元素都是$1$，其他元素都是$0$

矩陣的運算

一、矩陣的加法

1. 定義

設有兩個$m\times n$矩陣$A=(a_{ij}))$和$B=(b_{ij})$（同型矩陣），那麼矩陣$A$與$B$的和記作$A+B$，規定為$A+B=\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n} \ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2n}+b_{2n} \ \vdots & \vdots &  & \vdots \ a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \cdots & a_{mn}+b_{mn}\end{pmatrix}$

2. 運算規律

矩陣加法滿足下列運算規律（設$A,B,C$都是$m\times n$矩陣）

• $A+B=B+A$
• $(A+B)+C=A+(B+C)$

二、數與矩陣相乘

1. 定義

數$\lambda$與矩陣$A$的乘積記作$\lambda A$或$A \lambda$，規定為$\lambda A=A \lambda=\begin{pmatrix}\lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \cdots & \lambda a_{1n} \ \lambda a_{21} & \lambda a_{22} & \cdots & \lambda a_{2n} \ \vdots & \vdots &  & \vdots \ \lambda a_{m1} & \lambda a_{m2} & \cdots  & \lambda a_{mn}\end{pmatrix}$

2. 運算規律

數乘矩陣滿足下列運算規律（設$A,B$為$m\times n$矩陣，$\lambda,\mu$為數）

• $(\lambda \mu)A=\lambda(\mu A)$
• $(\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A$
• $\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B$

三、矩陣與矩陣相乘

1. 定義

設$A=(a_{ij})$是一個$m\times s$矩陣，$B=(b_{ij})$是一個$s\times n$矩陣，那麼規定矩陣$A$與矩陣$B$的乘積是一個$m\times n$矩陣$C=(c_{ij})$，其中$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{is}b_{sj}=\sum\limits_{k=1}^{s}a_{ik}b_{kj},(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n)$并把乘積記作$C=AB$

2. 運算規律

矩陣的乘法滿足下列結合律和配置設定律（假設運算都是可行的）

• $(AB)C=A(BC)$
• $\lambda(AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)$
• $A(B+C)=AB+AC$

注意$AB\ne BA$

四、矩陣的轉置

1. 定義

把矩陣$A$的行換成同序數的列得到一個新矩陣，叫做$A$的轉置矩陣，記作$A^T$

可以看做以主對角線為對稱軸，翻轉矩陣

2. 運算規律

矩陣的轉置滿足下列運算規律（假設運算都是可行的）

• $(A^T)^T=A$
• $(A+B)^T=A^T+B^T$
• $(\lambda A)^{T=\lambda}A^T$
• $(AB)^T=B^TA^T$

五、方陣的行列式

1. 定義

由$n$階方陣$A$的元素所構成的行列式（各元素的位置不變），稱為方陣$A$的行列式，記作$|A|$或$\det A$

2. 運算規律

由$A$确定$|A|$的這個運算滿足下列運算規律（設$A,B$為$n$階方陣，$\lambda$為數）

• $|A^T|=|A|$
• $|\lambda A|=\lambda^n|A|$
• $|AB|=|A||B|$

逆矩陣

一、逆矩陣的定義

定義：對于$n$姐矩陣$A$，如果有一個$n$階矩陣$B$，使$AB=BA=E$，則說矩陣$A$是可逆的，并把矩陣$B$稱為矩陣$A$的逆矩陣，簡稱逆陣。$A$的逆陣記作$A^{-1}$，即若$AB=BA=E$，則$B=A^{-1}$

二、性質

• 若矩陣$A$可逆，則$|A|\ne0$
• 若$|A|\ne0$，則矩陣$A$可逆，且$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^$，其中$A^$為矩陣$A$的伴随陣，即$A^=\begin{pmatrix}A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{2n} \ \vdots & \vdots &  & \vdots \ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn}\end{pmatrix}$（該式由$AA^=|A|E$推出）
• 若$AB=E$（或$BA=E$），則$B=A^{-1}$

三、充要條件

$A$是可逆矩陣的充分必要條件是$|A|\ne0$，即可逆矩陣就是非奇異矩陣

四、運算規律

方陣點的逆矩陣滿足下列運算規律

• 若$A$可逆，則$A^{-1}$亦可逆，且$(A^{-1})^{-1}=A$
• 若$A$可逆，數$\lambda\ne 0$，則$\lambda A$可逆，且$(\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}A^{-1}$
• 若$A,B$為同階矩陣且均可逆，則$AB$以亦可逆，且$(AB)^{-1}=B^{-1} A^{-1}$

例1：設$P=\begin{pmatrix}1 & 2  \ 1 & 4\end{pmatrix},\Lambda=\begin{pmatrix}1 & 0 \ 0 & 2\end{pmatrix},AP=P \Lambda$，求$A^n$

$|P|=2\ne0$，故$P$為可逆矩陣

有$A=P \Lambda P^{-1}$

$A^{n}=P \Lambda P^{-1}\cdot P \Lambda P^{-1}\cdots P \Lambda P^{-1}=P \Lambda^{n}P^{-1}$

$P^*=\begin{pmatrix}4 & -2 \ -1 & 1\end{pmatrix}$

$\therefore P^{-1}=\frac{P^{*}}{|P|}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4 & -2 \ -1 & 1\end{pmatrix}$

$\therefore A^{n}=P \Lambda P^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4-2^{n+1} & -2+2^{n-1} \ 4-2^{n+2 } & -2+2^{n+2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2-2^{n} & 2^{n}-1 \ 2-2^{n+1} & 2^{n+1}-1\end{pmatrix}$

矩陣分塊法

一、分塊矩陣的定義

定義 ：我們将矩陣$A$用若幹條縱線和橫線分成許多個小矩陣，每一個小矩陣稱為$A$的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣

例1：設$A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ -1 & 2 & 1 & 0 \ 1 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 0 \ -1 & 2 & 0 & 1 \ 1 & 0 & 4 & 1 \ -1 & -1 & 2 & 0\end{pmatrix}$，求$AB$

$A=\begin{pmatrix}E & 0 \ A_{1} & E\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}B_{11} & E \ B_{21} & B_{22}\end{pmatrix}$

$AB=\begin{pmatrix}EB_{11}+0\cdot B_{21} & EE+0\cdot B_{22} \ A_{1}B_{11}+EB_{21} & A_{1}E+EB_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}B_11 & E \ A_{1}B_{11}+B_{21} & A_{1}+B_{22}\end{pmatrix}$

$A_{1}B_{11}+B_{21}=\begin{pmatrix}-2 & 4 \ -1 & 1\end{pmatrix}$

$A_1+B_{22}=\begin{pmatrix}3 & 3 \ 3 & 1\end{pmatrix}$

故$AB=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 0 \ -1 & 2 & 0 & 1 \ -2 & 4 & 3 & 3 \ -1 & 1 & 3 & 1\end{pmatrix}$

例2：證明矩陣$A=O$的充分必要條件是方陣$A^TA=O$

必要性：

$\because A=O\quad \therefore A^{TA=O\cdot}O=O$

充分性：

設$A_{m\times n}=\begin{pmatrix}\alpha_{1} & \alpha_2 & \cdots & \alpha_n\end{pmatrix}$，其中$\alpha_{i}=\begin{pmatrix}a_{1i} \ a_{2i} \ \vdots \ a_{ni}\end{pmatrix}$

$A^TA=\begin{pmatrix}\alpha_{1}^T \ \alpha_{2}^T \ \cdots\\alpha_{n}^T\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha_{1}^{T}\alpha_{1} &\alpha_{1}^{T}\alpha_{2}  & \cdots & \alpha_{1}^{T}\alpha_{n}  \ \alpha_{2}^{T}\alpha_{1}  & \alpha_{2}^{T}\alpha_{2} & \cdots & \alpha_{2}^{T}\alpha_{n}  \ \vdots & \vdots &  & \vdots \ \alpha_{n}^{T}\alpha_{1}  & \alpha_{n}^{T}\alpha_{2}  & \cdots & \alpha_{n}^{T}\alpha_{n}  \end{pmatrix}=O$

又$\because A^TA=0$

$\therefore \alpha_{i}^{T}\alpha_{j}=0\quad(i,j=1,\cdots,n)$

當$i=j$時，即$\alpha_{i}^{T}\alpha_{i}=0$

又$\because \alpha_{i}=\begin{pmatrix}a_{1i} \ a_{2i} \ \vdots \ a_{ni}\end{pmatrix}$

$\alpha_{i}^{T}\alpha_{i}=\begin{pmatrix}a_{1i}  & a_{2i} & \cdots & a_{ni}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{1i} \ a_{2i} \ \vdots \ a_{ni}\end{pmatrix}=a_{1i}^{2}+a_{2i}^{2}+\cdots+a_{ni}^{2}=0$