（四）【矩阵论】（线性变换）线性变换的定义|线性变换的矩阵表示|零空间与值空间

​​【矩阵论专栏】​​

文章目录

• ​​A 线性变换的定义​​
• ​​B 线性变换的矩阵表示​​
• ​​C 零空间与值空间​​

A 线性变换的定义

（1）定义1（线性变换）设是同一数域上的线性空间，是的映射，若对中任意向量，以及数域中任意元素，有：

则称为线性空间到的线性变换（或线性算子）。

例1：

例2：

例3：

B 线性变换的矩阵表示

设是的线性变换，与分别是与的基。

因为设在基下的坐标为：即有，i=1,2,…,n.

记

则有：

其中

：每一列对应的都是

定义2 称矩阵为线性变换在基偶下的矩阵。若是（自身）的线性变换，则取，此时是方阵，简称为在基下的矩阵。

其中是在像空间下的坐标。

基到基的过渡矩阵P与线性变换在基偶下的矩阵A的联系：

• 共同点：它们的每一列都是向量的坐标。

• 不同：过渡矩阵是另外一个基的每个向量在原来那个基下的坐标。线性变换原像空间里面那个基里的向量做完线性变换后在像空间这个基下的坐标。P是同一个空间下基之间坐标的关系。A是不同空间之间的。

  例子：

  

  从A可以看出使得向量在方向扩大十倍，在其他方向不变。

例子：

2)中的：取A第一列

C 零空间与值空间

（1）定义3（零空间和值空间）设是的线性变换，记称为T的零空间（核）

称为T的值空间（值域）

易知，是的子空间；是的子空间。

（2）定义4（零度与秩）设是的线性变换，记称的零度,

称为的秩。

（3）定理1设是的线性变换，与分别是与的基，在基偶下的矩阵为，则有：

例题：

（4）求零空间与值空间的基的一般方法：

设是的线性变换，与分别是与的基。

1）求零空间的基：

• 先求出在基偶下的矩阵;
• 求出齐次线性方程组的基础解析：
• 则为的基。

2）求值空间的基：

• 先求出基中向量变换后的像的极大线性无关组即为

例子：