（三）【矩阵论】（子空间）常见子空间|基扩张定理|和空间与交空间|直和

​​【矩阵论专栏】​​

文章目录

• ​​A 子空间定义​​
• ​​B 常见的子空间​​
• ​​C 基扩张定理​​
• ​​D 和空间与交空间​​
• ​​E 直和​​

A 子空间定义

<1> 定义1（子空间）：设是数域上的线性空间，是的子集，若对中的任意元素,,及数,按中的加法和数乘有：则也是数域上的线性空间，称为的线性子空间，简称子空间

注：

• 由单个零元素组成的子集是线性子空间；

• 线性空间是线性子空间。

  与是称为的平凡子空间。

• dim{0}=1

B 常见的子空间

<1> 设是一给定的实矩阵，记则称是的子空间，称为的零空间。

则是的子空间，称为A的列空间。基础解析的个数等于

。

<2> 设是线性空间的一向量组，记则是的子空间，称为由张成的子空间。

即把所有的线性组合形成的向量放在一起，形成的集合。解决了抽象线性空间中子集(即子空间)的描述。

注：

• 若是子空间的基，则有
• 设,记,其中.则有

<3>例题：

C 基扩张定理

<1>定理1 设4是中一组线性无关向量，则存在中个向量,使得构成的基。

D 和空间与交空间

<1>设和均是线性空间的子空间

• 不是线性空间的子空间。

  

由定义1，对加法不封闭。

• 是仍然是线性空间的子空间。

  

<2>定义2（和空间和交空间）：设与是线性空间的两个子空间，令

称为与的交空间。

称为与的和空间。

注：

• ；
• 设

<3> 定理2（维数公式)设与是线性空间的两个子空间，则有：

例题：

修改：

和空间中的向量一定可以分解成两个向量之和，其中一个向量属于,另一个输入,即

例子：

E 直和

<1> 定义3（直和）设中的任一向量只能唯一地分解为中的一个向量与中的一个向量之和，则称为与的直和，记为：.

<2>定理3（直和等价条件）：

• 1)
• 2)
• 3)
• 4).

  

例题：