是否构成
R
R
R上的线性空间
是否构成
R
R
R上的线性空间
判断
封闭
：
-
x
1
,
x
2
∈
R
x_1, x_2 \in R
x1,x2∈R，有
x
1
+
x
2
∈
R
x_1+x_2 \in R
x1+x2∈R，以及
k
x
1
∈
R
kx_1 \in R
kx1∈R，其中
k
∈
R
k \in R
k∈R
如何判断
是否构成X上的线性空间
？由定义：
-
-
加法运算“+”满足：对
x
,
y
∈
X
x,y\in X
x,y∈X，
x
+
y
∈
X
x+y\in X
x+y∈X，且
-
-
交换律：
x
+
y
=
y
+
x
x+y=y+x
x+y=y+x
-
结合律：对任意
z
∈
X
z\in X
z∈X，
(
x
+
y
)
+
z
=
x
+
(
y
+
z
)
(x+y)+z=x+(y+z)
(x+y)+z=x+(y+z)
-
有零元：存在
∈
X
0\in X
0∈X，使得对一切
x
∈
X
x\in X
x∈X，有
x
+
=
x
x+0=x
x+0=x（
0称为
X
X
X的零元素）
这条一般被作为反例，直接用于判断不成立
-
有负元：对任意
x
∈
X
x\in X
x∈X，存在
y
∈
X
y\in X
y∈X，使
x
+
y
=
x+y=0
x+y=0（
y
y
y称为
x
x
x的负元素）
-
数乘元素“·”满足：对任意
α
∈
K
\alpha \in K
α∈K（
K
K
K为实数域
R
R
R或复数域
C
C
C），
x
∈
X
x \in X
x∈X，
α
x
∈
X
\alpha x \in X
αx∈X，且：
-
-
对任意的
β
∈
K
\beta \in K
β∈K，
α
(
β
x
)
=
(
α
β
)
x
\alpha (\beta x) = (\alpha \beta)x
α(βx)=(αβ)x
-
1
⋅
x
=
x
1 \cdot x = x
1⋅x=x
-
对任意的
y
∈
X
y \in X
y∈X，
α
(
x
+
y
)
=
α
x
+
α
y
\alpha(x + y) = \alpha x + \alpha y
α(x+y)=αx+αy
-
对任意的
β
∈
K
\beta \in K
β∈K，
(
α
+
β
)
x
=
α
x
+
β
x
(\alpha + \beta)x = \alpha x + \beta x
(α+β)x=αx+βx
例题： 判断下列集合对于所指运算是否为（
R
R
R上的）线性空间（
R
n
R^n
Rn的子空间）。
-
-
（1）分量之和等于0的
n
n
n维向量的全体，对向量加和数乘
-
（2）分量之和等于1的
n
n
n维向量的全体，对向量加和数乘
解：
分析：
-
- 是否封闭？
- 分别满足加法与乘法的四个条件？
基之间的过渡矩阵
基之间的过渡矩阵
[
ϵ
1
,
.
.
.
,
ϵ
n
]
=
[
η
1
,
.
.
.
,
η
n
]
P
[\epsilon_1, ...,\epsilon_n] = [\eta_1, ...,\eta_n]P
[ϵ1,...,ϵn]=[η1,...,ηn]P
P
P
P称为
η
\eta
η到
ϵ
\epsilon
ϵ的过渡矩阵。
例题：
解：
分析：
-
-
由
e
e
e到
a
a
a的过渡矩阵，由
a
=
e
P
a=eP
a=eP定义式可得
P
=
e
−
1
a
P=e^{-1}a
P=e−1a
- 在某一坐标系（基）下的坐标，其
实际
表示的坐标点是
[
e
i
]
1
×
i
[
x
]
i
×
1
[e_i]_{1\times i}[x]_{i \times 1}
[ei]1×i[x]i×1；因此，对于同一坐标点，可以在不同坐标系下建立相等的关系
[
e
i
]
1
×
i
[
x
]
i
×
1
=
[
a
i
]
1
×
i
[
y
]
i
×
1
[e_i]_{1\times i}[x]_{i \times 1} = [a_i]_{1\times i}[y]_{i \times 1}
[ei]1×i[x]i×1=[ai]1×i[y]i×1
是否是线性变换
是否是线性变换
-
-
映射：
T
:
X
→
Y
T: X \rightarrow Y
T:X→Y
-
线性映射：线性空间
X
X
X到
Y
Y
Y满足线性的映射，即
T
T
T满足：
T
(
α
x
+
β
y
)
=
α
T
x
+
β
T
y
T(\alpha x + \beta y) = \alpha T x + \beta T y
T(αx+βy)=αTx+βTy
-
线性变换：
Y
=
X
Y=X
Y=X时的线性映射，即
T
:
X
→
X
T: X\rightarrow X
T:X→X
例题：
解：
-
直接套用定义，是否满足
T
(
α
x
+
β
y
)
=
α
T
x
+
β
T
y
T(\alpha x + \beta y) = \alpha T x + \beta T y
T(αx+βy)=αTx+βTy