（二）【矩阵论】（线性表示及基与坐标）线性表示|基与维数|向量的坐标|过渡矩阵

​​【矩阵论专栏】​​

文章目录

• ​​A 线性表示​​
• ​​B 基与维数​​
• ​​C 向量的坐标​​
• ​​D 过渡矩阵​​

A 线性表示

<1> 定义1（线性表示）

<2> 定义2（线性相关）

<3> 定义3（线性无关）

注：

• 线性无关的充要条件是(证明向量线性无关的主要方法)：

  《==》

• 线性相关的充要条件是：

  中某向量能被其余的向量线性表示；

• 单个零向量线性相关，单个非零向量线性无关
• 若线性无关，则其部分向量组成的向量组也是线性无关；

• 若向量组 中部分向量组成的向量组 线性相关，则原向量组 也线性相关。

  <4> 例题：

  

B 基与维数

<1> 定义4

• 这个向量组线性无关，

• 中任何向量能被它线性表示。

  <2> 例题：

  

  由基的定义，为线性空间的一组线性无关的向量组，且 对于任意存在一组数,使得，故为的基。

C 向量的坐标

<1> 定理1

<2>例题：

<3>例题

<4> 例题

基不唯一

<5> 线性同构（运算线性结构不变）

D 过渡矩阵

<1> 过渡矩阵

<2> 过渡矩阵性质

<3>性质证明

<4>例题求过渡矩阵：