（二）【矩陣論】（線性表示及基與坐标）線性表示|基與維數|向量的坐标|過渡矩陣

​​【矩陣論專欄】​​

文章目錄

• ​​A 線性表示​​
• ​​B 基與維數​​
• ​​C 向量的坐标​​
• ​​D 過渡矩陣​​

A 線性表示

<1> 定義1（線性表示）

<2> 定義2（線性相關）

<3> 定義3（線性無關）

注：

• 線性無關的充要條件是(證明向量線性無關的主要方法)：

  《==》

• 線性相關的充要條件是：

  中某向量能被其餘的向量線性表示；

• 單個零向量線性相關，單個非零向量線性無關
• 若線性無關，則其部分向量組成的向量組也是線性無關；

• 若向量組 中部分向量組成的向量組 線性相關，則原向量組 也線性相關。

  <4> 例題：

  

B 基與維數

<1> 定義4

• 這個向量組線性無關，

• 中任何向量能被它線性表示。

  <2> 例題：

  

  由基的定義，為線性空間的一組線性無關的向量組，且 對于任意存在一組數,使得，故為的基。

C 向量的坐标

<1> 定理1

<2>例題：

<3>例題

<4> 例題

基不唯一

<5> 線性同構（運算線性結構不變）

D 過渡矩陣

<1> 過渡矩陣

<2> 過渡矩陣性質

<3>性質證明

<4>例題求過渡矩陣：