矩阵论笔记(二) - 线性变换

文章目录

• • 4. 线性变换
  • • 4.1 定义
    • 4.2 性质
    • 4.3 线性变换的运算
    • • (1) 线性变换的和
      • (2) 线性变换的数乘
      • (3) 线性变换的乘积
      • (4) 线性变换的逆
      • (5) 线性变换的幂
      • (6) 线性变换的多项式

4. 线性变换

4.1 定义

设 V V V为数域 K K K上的线性空间，若存在变换 T : V → V T:V\rightarrow V T:V→V ∀ x , y ∈ V , k ∈ K , \forall x, y \in V, k \in K, ∀x,y∈V,k∈K,满足 T ( x + y ) = T ( x ) + T ( y ) T ( k x ) = k T ( x ) T(x+y)=T(x) + T(y) \\T(kx)=kT(x) T(x+y)=T(x)+T(y)T(kx)=kT(x)则称 T T T为线性空间 V V V上的线性变换。

1. 单位变换：变换后为自身（恒等变换）
2. 零变换：变换后为零向量
3. 数乘变换：乘以数 k k k

4.2 性质

1. 零变换： T ( 0 ) = 0 T(0)=0 T(0)=0， 零变换一般记为 T 0 T_0 T0​
2. 负变换： T ( − x ) = − T ( x ) T(-x)=-T(x) T(−x)=−T(x)
3. 线性变换保持线性组合及关系式不变
4. 线性相关的向量组，经线性变换后，还是线性相关的
5. 线性无关的向量组，经线性变换后，可能变成线性相关的。如零变换。

4.3 线性变换的运算

T 1 , T 2 为 两 个 线 性 变 换 T_1,T_2为两个线性变换 T1​,T2​为两个线性变换

(1) 线性变换的和

( T 1 + T 2 ) ( x ) = T 1 x + T 2 x (T_1+T_2)(x) = T_1x+T_2x (T1​+T2​)(x)=T1​x+T2​x

和的性质：

T 0 + T 1 = T 1 ， ( − T ) + T = T 0 T_0 + T_1 = T_1， (-T) +T = T_0 T0​+T1​=T1​，(−T)+T=T0​ ，其中 T 0 T_0 T0​为零变换

(2) 线性变换的数乘

( k T ) ( x ) = k T ( x ) (kT)(x) = kT(x) (kT)(x)=kT(x)

数乘性质：

1. k ( T 1 + T 2 ) = k T 1 + k T 2 k(T_1+T_2)=kT_1 + kT_2 k(T1​+T2​)=kT1​+kT2​

2. ( k + l ) T = k T + l T (k+l)T=kT+lT (k+l)T=kT+lT

(3) 线性变换的乘积

( T 1 T 2 ) ( x ) = T 1 ( T 2 x ) (T_1T_2)(x) = T_1(T_2x) (T1​T2​)(x)=T1​(T2​x)

乘积性质：

1. 结合律： ( T 1 T 2 ) T 3 = T 1 ( T 2 T 3 ) (T_1T_2)T_3=T_1(T_2T_3) (T1​T2​)T3​=T1​(T2​T3​)
2. 交换律一般不成立
3. 乘法对加法满足分配律
4. T e T = T T e = T T_eT = TT_e = T Te​T=TTe​=T，其中 T e T_e Te​ 为单位变换

(4) 线性变换的逆

S , T S,T S,T都是线性空间 V V V中的线性变换，若

S T = T S = T e ST = TS = T_e ST=TS=Te​

则，S为T的逆变换，记作 T − 1 T^{-1} T−1

性质：

1. 互为逆变换
2. T可逆 <=> 线性变换T是一一对应的（每个象只对应一个原象，每个原象也只对应一个象）
3. 无关向量组，经过可逆线性变换后，还是无关向量组

(5) 线性变换的幂

T n = T . . . T T^n = T...T Tn=T...T (n个)

性质：

1. 当n为0， T 0 = T e T^0 = T_e T0=Te​
2. T m + n = T m T n ,   ( T m ) n = T m n T^{m+n} = T^m T^n, \ {(T^{m})}^n = T^{mn} Tm+n=TmTn, (Tm)n=Tmn
3. T可逆， T − n = ( T − 1 ) n T^{-n} = (T^{-1})^{n} T−n=(T−1)n
4. 一般， ( T S ) n ≠ T n S n (TS)^{n} \neq T^nS^n (TS)n̸​=TnSn

(6) 线性变换的多项式

若多项式 f ( x ) = a m x m + . . . + a 1 x + a 0 f(x)=a_mx^m+...+a_1x+a_0 f(x)=am​xm+...+a1​x+a0​

T为一个线性变换，则

f ( T ) = a m T m + . . . + a 1 T + a 0 T e f(T)=a_mT^m +...+a_1T+a_0T_e f(T)=am​Tm+...+a1​T+a0​Te​

为线性变换T的多项式

性质：

线性变换的多项式满足原多项式的加法和乘法关系