矩陣論筆記(二) - 線性變換

文章目錄

• • 4. 線性變換
  • • 4.1 定義
    • 4.2 性質
    • 4.3 線性變換的運算
    • • (1) 線性變換的和
      • (2) 線性變換的數乘
      • (3) 線性變換的乘積
      • (4) 線性變換的逆
      • (5) 線性變換的幂
      • (6) 線性變換的多項式

4. 線性變換

4.1 定義

設 V V V為數域 K K K上的線性空間，若存在變換 T : V → V T:V\rightarrow V T:V→V ∀ x , y ∈ V , k ∈ K , \forall x, y \in V, k \in K, ∀x,y∈V,k∈K,滿足 T ( x + y ) = T ( x ) + T ( y ) T ( k x ) = k T ( x ) T(x+y)=T(x) + T(y) \\T(kx)=kT(x) T(x+y)=T(x)+T(y)T(kx)=kT(x)則稱 T T T為線性空間 V V V上的線性變換。

1. 機關變換：變換後為自身（恒等變換）
2. 零變換：變換後為零向量
3. 數乘變換：乘以數 k k k

4.2 性質

1. 零變換： T ( 0 ) = 0 T(0)=0 T(0)=0， 零變換一般記為 T 0 T_0 T0​
2. 負變換： T ( − x ) = − T ( x ) T(-x)=-T(x) T(−x)=−T(x)
3. 線性變換保持線性組合及關系式不變
4. 線性相關的向量組，經線性變換後，還是線性相關的
5. 線性無關的向量組，經線性變換後，可能變成線性相關的。如零變換。

4.3 線性變換的運算

T 1 , T 2 為 兩 個 線 性 變 換 T_1,T_2為兩個線性變換 T1​,T2​為兩個線性變換

(1) 線性變換的和

( T 1 + T 2 ) ( x ) = T 1 x + T 2 x (T_1+T_2)(x) = T_1x+T_2x (T1​+T2​)(x)=T1​x+T2​x

和的性質：

T 0 + T 1 = T 1 ， ( − T ) + T = T 0 T_0 + T_1 = T_1， (-T) +T = T_0 T0​+T1​=T1​，(−T)+T=T0​ ，其中 T 0 T_0 T0​為零變換

(2) 線性變換的數乘

( k T ) ( x ) = k T ( x ) (kT)(x) = kT(x) (kT)(x)=kT(x)

數乘性質：

1. k ( T 1 + T 2 ) = k T 1 + k T 2 k(T_1+T_2)=kT_1 + kT_2 k(T1​+T2​)=kT1​+kT2​

2. ( k + l ) T = k T + l T (k+l)T=kT+lT (k+l)T=kT+lT

(3) 線性變換的乘積

( T 1 T 2 ) ( x ) = T 1 ( T 2 x ) (T_1T_2)(x) = T_1(T_2x) (T1​T2​)(x)=T1​(T2​x)

乘積性質：

1. 結合律： ( T 1 T 2 ) T 3 = T 1 ( T 2 T 3 ) (T_1T_2)T_3=T_1(T_2T_3) (T1​T2​)T3​=T1​(T2​T3​)
2. 交換律一般不成立
3. 乘法對加法滿足配置設定律
4. T e T = T T e = T T_eT = TT_e = T Te​T=TTe​=T，其中 T e T_e Te​ 為機關變換

(4) 線性變換的逆

S , T S,T S,T都是線性空間 V V V中的線性變換，若

S T = T S = T e ST = TS = T_e ST=TS=Te​

則，S為T的逆變換，記作 T − 1 T^{-1} T−1

性質：

1. 互為逆變換
2. T可逆 <=> 線性變換T是一一對應的（每個象隻對應一個原象，每個原象也隻對應一個象）
3. 無關向量組，經過可逆線性變換後，還是無關向量組

(5) 線性變換的幂

T n = T . . . T T^n = T...T Tn=T...T (n個)

性質：

1. 當n為0， T 0 = T e T^0 = T_e T0=Te​
2. T m + n = T m T n ,   ( T m ) n = T m n T^{m+n} = T^m T^n, \ {(T^{m})}^n = T^{mn} Tm+n=TmTn, (Tm)n=Tmn
3. T可逆， T − n = ( T − 1 ) n T^{-n} = (T^{-1})^{n} T−n=(T−1)n
4. 一般， ( T S ) n ≠ T n S n (TS)^{n} \neq T^nS^n (TS)n̸​=TnSn

(6) 線性變換的多項式

若多項式 f ( x ) = a m x m + . . . + a 1 x + a 0 f(x)=a_mx^m+...+a_1x+a_0 f(x)=am​xm+...+a1​x+a0​

T為一個線性變換，則

f ( T ) = a m T m + . . . + a 1 T + a 0 T e f(T)=a_mT^m +...+a_1T+a_0T_e f(T)=am​Tm+...+a1​T+a0​Te​

為線性變換T的多項式

性質：

線性變換的多項式滿足原多項式的加法和乘法關系