【矩陣論】線性空間與線性變換（6）

有關線性映射的[值域空間]和[核子空間]的讨論

一. 滿射、單射與雙射

1. 定義回顧

在前一篇文章《【矩陣論】線性空間與線性變換（5）》中我們對線性映射的值域和核子空間進行了定義：

同樣地，我們也對線性映射的類型進行了讨論：

2. 定理描述

首先：根據線性映射的滿射和單射，其值域空間和核子空間分别會與集合U和零空間相等。

又因為：兩個有限次元的線性空間相等，可以轉換成證明兩個空間的次元相等；

是以：要證明一個線性映射是滿射或者是單射，隻需要證明線性映射的值域空間次元與U次元一緻+證明線性映射的核子空間次元為0.

1. 定理證明

下面對上述定理中的第二條充要條件進行證明。

【必要性】：已知f為單射，要證明f的核子空間為零空間。

要證明一個空間為零空間，則需要證明對于任意一個向量η∈K(f)，都有η = θ。

按照核子空間的定義，應該有f(η) = θ；又因為f是一個線性映射，是以應該有f(θ) = θ；

那麼按照單射的定義，隻可能是η = θ。

#證畢

【充分性】：已知線性映射f的核子空間是零空間，要證明映射f是一個單射。

假設存在兩個向量x,y，其映射之後的像相等，也就是【f(x) = f(y)】，變形後也就是【f(x)-f(y) = θ】

根據線性映射關于線性運算封閉的定義，則有【f(x-y) = θ】，那麼左式是符合核子空間的定義，則【(x-y)∈K(f)】

即：(x-y) = θ，進而推出x = y。

1. 【值域空間】基與維數的求解

按照前面我們讨論以及證明的定理來看，在求解單射、滿射以及雙射的相關問題時，我們需要對映射f的值域空間R(f)和映射f的核子空間K(f)進行求解。

（1）定理描述

（2）定理了解

我們要求解R(f)的基，也就是求解R(f)的極大線性無關組。根據定義，直到R(f)是由f(α1)，f(α2)，f(α3)，…，f(αs)這組向量張成的線性空間，那麼問題就可以轉換成求解f(α1)，f(α2)，f(α3)，…，f(αs)的極大線性無關組。

根據線性映射的矩陣描述，我們可以得到如下等式

f(α1)，f(α2)，f(α3)，…，f(αs) = （β1，β2，…，βs）A

其中矩陣A寫成列分塊矩陣後，第i列就是f(αi)這個向量在（β1，β2，…，βs）這組基下的坐标。

根據我們讨論過的【向量與坐标的等價性】，問題再一次被轉換成求解矩陣A的極大線性無關組，使用初等行變換即可。

矩陣A具有的一些空間性質（次元，極大無關組，線性相關性等）都可以自然地延伸到R(f)這個待求空間上。

1. 【核子空間】基與維數的計算

（1）定理描述

（2）定理了解

因為核子空間是基于一個限制式子f(δ) = θ進行定義的，其自身的了解并不是很直覺。是以我們要先把核子空間的一般形式求解出來，找到該空間的直覺表示方式後，再求解該空間的基與維數。

按照上圖中給出的線性映射的矩陣表示，在V中的任意一個向量η，其坐标為X，經過映射後，其坐标為AX。

如果，η這個向量同時也在f的核子空間中，那麼就有f(η) = AX = θ，也就是映射後的向量在基β1，β2，…βn的坐标表示是θ向量。

那麼，對核子空間的求解，轉化成對于齊次方程組AX = θ進行求解；

求解核子空間的極大無關組，也轉化成求解方程組的基礎解系。

（3）維數定理——核子空間和值域空間

在前一篇文章中我們是通過例題計算驗證了這一結論，這裡我們通過數理邏輯對這一結論進行了證明。

【推論】對于一個可逆的變換（雙射），證明單射和滿射是互為等價的

證明思路如下，以下步驟均為等價變換

若f是一個單射，根據性質，核子空間K(f)為零空間，則K(f)空間的次元即為0，代入維數定理中可以得到，值域空間R(f)的次元和集合V的次元相等，則有R(f) = V，按照定義，就說明f是滿射。

【例】求解f的值域空間和核子空間 - 1

<求解值域空間>

對A進行初等行變換，可以從中求得值域空間的維數性質。

注意！！在求基的時候，要代回到沒有進行初等行變換的矩陣。

因為按照線性變換f的矩陣表示，滿足的是f(α1)，f(α2)，f(α3)，…，f(αs) = （α1，α2，…，αs）A，也就是A的第i列為f(αi)相應的坐标表示。

是以最後求解出來的基是ε1+ε3,2ε1-ε2+ε3；而不是ε1，ε2.

<求解核子空間>

對于齊次方程組AX = θ求解基礎解系，同樣是對A進行初等行變換，可以得到解空間的基礎解系為[-2,1,1]T。

找到基礎解系後，核子空間和值域空間略有不同，它是一個抽象的線性空間，而非從列向量中進行選擇。

确定了基之後，就能把核子空間的基完整表達出來，同時也确定了空間的次元。

【例】求解f的值域空間和核子空間 - 2

由題需求，給出的某一個線性變換的值域空間R(f)與核子空間K(f)的基和維數。

根據前面的定義，隻需要找到線性變換集合F2x2中的一組基，以及在這一組基下變換f的矩陣即可。

之後R(f)空間和K(f)空間就可以借助矩陣來進行求解。

<求解線性變換的矩陣A>

通常要求解線性變換對應的矩陣，按照線性變換矩陣表示的定義，打好架構即可。

選取的F2x2的基就是最自然的那一組E11，E12,E21,E22

代入到線性變換的定義式中，即可以求解出矩陣A。

<值域空間的求解>

對求解出來的矩陣A進行初等行變換，值域空間和矩陣A的列空間具有相同的性質。

同樣要注意我們在第一個例題中講過的，最後找基的時候，要借助原來的A矩陣的各個列向量來看。（不能使用經過行變換後的矩陣）

<核子空間的求解>

求解出了值域空間的維數之後，根據維數定理馬上就能得到核子空間的維數為1.

同樣需要對A進行初等行變換，轉換成最簡形矩陣，解得以矩陣A作為系數矩陣的齊次線性方程組AX = θ的基礎解系。

在上圖中，基礎解系中含有的向量就是[-1,1,-1,1]T

要注意的是，求出來的基礎解系并不是最終我們需要的核子空間的基，我們求出來的隻是基在標明的E11,E12,E21，E22這組基的下的坐标。

是以最終我們需要的解是-E11+E12-E21+E22 = [[-1,1],[-1,1]]這個矩陣。

二. 不變子空間

【前言】

我們前面花了很多篇幅讨論了線性映射的矩陣表示，以及通過矩陣來進行相關性質的求解。

其核心就是，對于一個從V到V的映射f，我們在找到V的一組基α1，α2，α3，…，αs之後，可以把線性映射表示成基于這組基的一個矩陣A。

而我們引出“不變子空間”這個概念，就是希望我們可以盡可能地使矩陣A的表示簡單一點。

1. 不變子空間的定義

也就是對原來從V到V的一個映射，我們能在V中找到一個子集W，使得映射f在w上的部分，也是從w到w變換的，不會出現從w映射到(V-W)的部分。

1. 讨論“不變子空間”的重要性

根據上圖，若将線性變換的原始集合V分解成兩個不變子空間的直和，那麼根據我們在《【矩陣論】線性空間與線性變換（3）（4）》中所讨論的直和的定義與性質

不變子空間V1和不變子空間V2分别都可以找到一組基，而兩個不變子空間的基的和就是最終的空間V的基。

此時，若我們想要對線性映射f進行矩陣表示，按照打好的架構就有

(f(a1)…f(ar),f(ar+1)…f(an)) = (a1 a2…ar,ar+1,…,an)A的形式

其中，f(a1)…f(ar)隻在V1不變子空間中出現，可以隻表示成a1 a2…ar的線性組合的形式；

同理，f(ar+1)…f(an)可以隻表示成ar+1,…,an的線性組合的形式。

那麼，線性變換的表示矩陣A就可以寫作一個分塊對角陣，其形式和運算得到很大簡化。

【例】利用不變子空間的定義對線性映射進行相關求解

根據題意，要證明線性映射f在任意基下的矩陣均相似于[[I,O],[O,O]]；實際上就是要找到存在一組基，使得線性變換f在這組基下的矩陣表示就是[[I,O],[O,O]]。

因為在《【矩陣論】線性空間與線性變換（5）》這一節中的第四部分中，我們進行過證明，“不同基表示下的線性變換的矩陣都是相似的”。

那麼問題就轉換成如何找到滿足條件的那一組基。因為給出的矩陣的形式是分塊對角陣，是以想到利用前面讨論過的有關不變子控件的定義和定理，把線性映射的集合V展開成兩個不變子空間的直和。

由上圖，構造出V1和V2兩個子空間，現需要證明V就是這兩個子空間的直和。

在《【矩陣論】線性空間與線性變換（3）（4）》中我們讨論過有關直和的定義和性質，以下進行簡短回顧，如果想詳細了解，可見上文。

要證明V是V1和V2的直和，隻需要證明兩點即可。

其一：V1和V2的交集為零空間

也就是從V1∩V2中任取一個向量，要能推出該向量為零向量。

根據V1和V2的定義，η∈V1∩V2，則有η∈V1和η∈V2，那麼即f(η) = η = θ，則η = θ。

其二：V = V1+V2

要證明兩個集合相等，按照老套路，隻需要證明兩個集合互相包含即可。

顯然可證V包含V1+V2，不再論述。因為V的定義能對V1和V2的定義同時滿足。

以下隻對V1+V2包含V進行證明，也就是任取一個元素η屬于V，要證明該元素η也屬于V1+V2

将任意一個元素η拆解成上述形式，可以證明f(η)是在V1空間内的，η-f(η)是在V2空間内的，故就證明了任意一個V中的元素都可以表示成V1中的元素和V2中的元素之和的形式。

通過上面的論述證明了V是V1和V2的直和，現在需要對這個線性變換f進行矩陣表示。

對于空間V1找到一組基ε1，ε2，…,εr

對于空間V2找到一組基εr+1,εr+2,…,εn

那麼根據直和的性質，空間V的基就是ε1，ε2，…,εr,εr+1,εr+2,…,εn

按照上圖的右邊部分打好求解矩陣的架構，那麼第一列就是要求解f(ε1)在基ε1，ε2，…,εr,εr+1,εr+2,…,εn下的坐标。

又因為f(ε1)是在V1子空間中，根據V1子空間的定義，知道f(ε1) = ε1，是以第一列的坐标可以寫作是1,0,0,…0.

同理，就可以得到最後的表示矩陣形如[[I,O],[O,O]]

以上，需要對線性變換所對應的矩陣進行一個簡單的表示，實質上對集合進行恰當的直和分解。