方陣特征值估計、圓盤定理、譜與譜半徑
文章目錄
- 方陣特征值估計、圓盤定理、譜與譜半徑
-
- 特征值估計
-
- 圓盤
-
- 例題
- 圓盤定理
-
- 證明：圓盤定理
- 定理：m個圓盤構成1個連通部分，該部分則有m個特征值（分布結構）
- 定理：具體分布情況（縮小半徑）
-
- 證明：縮小半徑
- 例題：特征值範圍
- 譜半徑的估計
-
- 譜與譜半徑
- 譜半徑的估計
-
- 證明
- 例題：譜半徑
特征值是方陣和線性變換的重要名額，其計算需求解
n
n
n次
多項式的根較複雜，而應用中有時并不需要求出其精确值。
特征值估計
圓盤
設
n
n
n 階方陣
A
=
(
a
i
j
)
n
×
n
A=(a_{ij})_{n\times n}
A=(aij)n×n，稱集合
G
i
(
A
)
=
{
λ
∣
∣
λ
−
a
i
i
∣
≤
∑
j
≠
i
∣
a
i
j
∣
}
G_i (A)=\{\lambda | |\lambda -a_{ii}| \le \sum_{j\neq i}{|a_{ij}|}\}
Gi(A)={λ∣∣λ−aii∣≤∑j=i∣aij∣}為
A
A
A的第
i
(
i
=
1
,
.
.
.
,
n
)
i(i=1,...,n)
i(i=1,...,n)個圓盤（蓋爾圓）。
例題
分析：
- 按照每行為機關，進行計算就好
-
注意是在複平面畫圖，
y
y
y軸的機關為
i
i
i
此外，有
連通部分
的定義：交結在一起的圓盤所構成的最大連通區域。如上例題中，共有個2連通部分。
圓盤定理
定理：
n
n
n階方陣的個特征值均落在
A
A
A的
n
n
n個圓盤的并集之内。
即，
A
=
(
a
i
j
)
n
×
n
A=(a_{ij})_{n\times n}
A=(aij)n×n的每一個特征值均至少滿足下列不等式之一：
∣
λ
−
a
i
i
∣
≤
∑
j
≠
i
∣
a
i
j
∣
,
i
=
1
,
.
.
.
,
n
|\lambda -a_{ii}|\le \sum_{j \neq i}|a_{ij}|,i=1,...,n
∣λ−aii∣≤j=i∑∣aij∣,i=1,...,n
證明：圓盤定理
分析：
- 最終
證明的目标
是：對于任一特征值
λ
\lambda
λ，有
λ
∈
∪
j
=
1
n
G
j
(
A
)
\lambda \in \cup_{j=1}^n G_j(A)
λ∈∪j=1nGj(A)
-
在證明過程中，注意利用了特征值不全為0并取
∣
ξ
i
∣
=
max
∣
ξ
i
∣
|\xi_{i0}|=\max|\xi_i|
∣ξi0∣=max∣ξi∣、特征值定義
A
ξ
=
λ
ξ
A\xi = \lambda \xi
Aξ=λξ這兩條性質
定理：m個圓盤構成1個連通部分，該部分則有m個特征值（分布結構）
上面的圓盤定理沒有給出分布結構，這裡給出。
設是由方陣
A
A
A的
m
m
m個圓盤組成的一個連通部分，則在
G
G
G中必有且隻有
A
A
A的
m
m
m個特征值（圓盤相重時重複計數，特征值相同時也重複計數）。
舉例子如上。
定理：具體分布情況（縮小半徑）
如上，對圓盤半徑
∑
j
≠
i
∣
a
i
j
∣
\sum_{j \neq i}|a_{ij}|
∑j=i∣aij∣進行了類似相似的變換，以求縮小範圍。
我們可以通過這個變換，把相交的圓盤，進而确定特征值具體分布。
證明：縮小半徑
分析：
-
對
A
A
A進行相似變換
-
過渡矩陣
B
B
B為對角陣，且對角元素均大于1，是以可逆，可作為過渡矩陣
- 原理是：相似矩陣特征值相同
例題：特征值範圍
分析：将
b
3
b_3
b3設定為不等于
1
1
1的數，實際上是在對
S
1
S_1
S1與
S
2
S_2
S2操作，因為在不等式
∣
λ
−
a
i
i
∣
≤
1
b
u
∑
j
≠
i
∣
a
i
j
∣
b
j
|\lambda -a_{ii}|\le \frac{1}{b_u} \sum_{j \neq i}|a_{ij}| b_j
∣λ−aii∣≤bu1∑j=i∣aij∣bj中，我們有
j
≠
i
j\neq i
j=i。
譜半徑的估計
譜與譜半徑
譜是
集合
，譜半徑可以了解為
最長的特征值的模
。
譜半徑的估計
ρ
(
A
)
≤
min
{
max
i
∑
j
=
1
n
∣
a
i
j
∣
,
max
j
∑
i
=
1
n
∣
a
i
j
∣
}
\rho(A) \le \min\{ \max_i \sum_{j=1}^n |a_{ij}|, \max_j \sum_{i=1}^n |a_{ij}|\}
ρ(A)≤min{imaxj=1∑n∣aij∣,jmaxi=1∑n∣aij∣}
證明
-
轉置矩陣
A
T
A^T
AT一定相似與
A
A
A，一定有相同譜半徑
- 可以縮小個範圍，提高精度，不用白不用