泰勒定理與泰勒公式

1，泰勒定理

如果實函數f(x)在x=a處可微且各階導數存在，則它在該點處的函數值可以寫成多項式的形式（泰勒多項式）。

2，泰勒公式

2.1 最常見的指數函數的 e x e^x ex在x=0處的泰勒公式形式為：

e x = 1 + x + x 2 / 2 ! + x 3 / 3 ! + . . . + x n / n ! , n → ∞ e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!, n\to\infin ex=1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!,n→∞

實際使用中n不會取無窮大，則實際函數值和這個多項式之間會有差，叫做餘項：

R n ( x ) = e x − ( 1 + x + x 2 / 2 ! + x 3 / 3 ! + . . . + x n / n ! ) R_n(x)=e^x-(1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!) Rn​(x)=ex−(1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!)

2.2 标準寫法

設n為正整數，f(x)在x=a處（n+1）次可導，則對于a的領域内的任意x，有：

f ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) / 1 ! + f ( 2 ) ( a ) ( x − a ) 2 / 2 ! + . . . + f ( n ) ( a ) ( x − a ) n / n ! + R n ( x ) f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)/1!+f^{(2)}(a)(x-a)^2/2!+...+f^{(n)}(a)(x-a)^n/n!+R_n(x) f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)/1!+f(2)(a)(x−a)2/2!+...+f(n)(a)(x−a)n/n!+Rn​(x)。

2.3 帶有皮亞諾型餘項的泰勒公式

f ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) / 1 ! + f ( 2 ) ( a ) / ( x − 1 ) 2 / 2 ! + . . . + f ( n ) ( a ) ( x − a ) n / n ! + o [ ( x − a ) ] n f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)/1!+f^{(2)}(a)/(x-1)^2/2!+...+f^{(n)}(a)(x-a)^n/n!+o[(x-a)]^n f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)/1!+f(2)(a)/(x−1)2/2!+...+f(n)(a)(x−a)n/n!+o[(x−a)]n。

它說明了 R n ( x ) 是 比 ( x − a ) n 更 高 階 的 無 窮 小 。 R_n(x)是比(x-a)^n更高階的無窮小。 Rn​(x)是比(x−a)n更高階的無窮小。

2.4 帶有拉格朗日餘項的泰勒公式

R n ( x ) = f ( n + 1 ) ( θ ) ( x − a ) n + 1 / ( n + 1 ) ! ， θ ∈ ( a , x ) R_n(x)=f^{(n+1)}(\theta)(x-a)^{n+1}/(n+1)!，\theta\in(a,x) Rn​(x)=f(n+1)(θ)(x−a)n+1/(n+1)!，θ∈(a,x)

2.5 帶有積分項餘項的泰勒公式

R n ( x ) = ∫ a x f ( n + 1 ) ( t ) ( x − t ) n d t / n ! R_n(x)=\int_a^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^ndt/n! Rn​(x)=∫ax​f(n+1)(t)(x−t)ndt/n!

2.6 帶有柯西餘項的泰勒公式

R n ( x ) = f ( n + 1 ) ( θ ) ( x − θ ) n ( x − a ) / n ! ， θ ∈ ( a , x ) R_n(x)=f^{(n+1)}(\theta)(x-\theta)^n(x-a)/n!，\theta\in(a,x) Rn​(x)=f(n+1)(θ)(x−θ)n(x−a)/n!，θ∈(a,x)

3，麥克勞林公式

麥克勞林公式是泰勒公式在x=0處的特殊形式。

上一節2.1中的指數函數的泰勒公式就是麥克勞林公式。