泰勒定理与泰勒公式

1，泰勒定理

如果实函数f(x)在x=a处可微且各阶导数存在，则它在该点处的函数值可以写成多项式的形式（泰勒多项式）。

2，泰勒公式

2.1 最常见的指数函数的 e x e^x ex在x=0处的泰勒公式形式为：

e x = 1 + x + x 2 / 2 ! + x 3 / 3 ! + . . . + x n / n ! , n → ∞ e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!, n\to\infin ex=1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!,n→∞

实际使用中n不会取无穷大，则实际函数值和这个多项式之间会有差，叫做余项：

R n ( x ) = e x − ( 1 + x + x 2 / 2 ! + x 3 / 3 ! + . . . + x n / n ! ) R_n(x)=e^x-(1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!) Rn​(x)=ex−(1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!)

2.2 标准写法

设n为正整数，f(x)在x=a处（n+1）次可导，则对于a的领域内的任意x，有：

f ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) / 1 ! + f ( 2 ) ( a ) ( x − a ) 2 / 2 ! + . . . + f ( n ) ( a ) ( x − a ) n / n ! + R n ( x ) f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)/1!+f^{(2)}(a)(x-a)^2/2!+...+f^{(n)}(a)(x-a)^n/n!+R_n(x) f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)/1!+f(2)(a)(x−a)2/2!+...+f(n)(a)(x−a)n/n!+Rn​(x)。

2.3 带有皮亚诺型余项的泰勒公式

f ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) / 1 ! + f ( 2 ) ( a ) / ( x − 1 ) 2 / 2 ! + . . . + f ( n ) ( a ) ( x − a ) n / n ! + o [ ( x − a ) ] n f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)/1!+f^{(2)}(a)/(x-1)^2/2!+...+f^{(n)}(a)(x-a)^n/n!+o[(x-a)]^n f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)/1!+f(2)(a)/(x−1)2/2!+...+f(n)(a)(x−a)n/n!+o[(x−a)]n。

它说明了 R n ( x ) 是 比 ( x − a ) n 更 高 阶 的 无 穷 小 。 R_n(x)是比(x-a)^n更高阶的无穷小。 Rn​(x)是比(x−a)n更高阶的无穷小。

2.4 带有拉格朗日余项的泰勒公式

R n ( x ) = f ( n + 1 ) ( θ ) ( x − a ) n + 1 / ( n + 1 ) ! ， θ ∈ ( a , x ) R_n(x)=f^{(n+1)}(\theta)(x-a)^{n+1}/(n+1)!，\theta\in(a,x) Rn​(x)=f(n+1)(θ)(x−a)n+1/(n+1)!，θ∈(a,x)

2.5 带有积分项余项的泰勒公式

R n ( x ) = ∫ a x f ( n + 1 ) ( t ) ( x − t ) n d t / n ! R_n(x)=\int_a^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^ndt/n! Rn​(x)=∫ax​f(n+1)(t)(x−t)ndt/n!

2.6 带有柯西余项的泰勒公式

R n ( x ) = f ( n + 1 ) ( θ ) ( x − θ ) n ( x − a ) / n ! ， θ ∈ ( a , x ) R_n(x)=f^{(n+1)}(\theta)(x-\theta)^n(x-a)/n!，\theta\in(a,x) Rn​(x)=f(n+1)(θ)(x−θ)n(x−a)/n!，θ∈(a,x)

3，麦克劳林公式

麦克劳林公式是泰勒公式在x=0处的特殊形式。

上一节2.1中的指数函数的泰勒公式就是麦克劳林公式。