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在維基百科上的解釋
在數學中，泰勒公式（英語：Taylor's Formula）是一個用函數在某點的資訊描述其附近取值的公式。這個公式來自于微積分的泰勒定理（Taylor's theorem），泰勒定理描述了一個可微函數，如果函數足夠光滑的話，在已知函數在某一點的各階導數值的情況之下，泰勒公式可以用這些導數值做系數建構一個多項式來近似函數在這一點的鄰域中的值，這個多項式稱為泰勒多項式（Taylor polynomial）。
泰勒公式的初衷是用多項式來近似表示函數在某點周圍的情況。比如說，指數函數
在
的附近可以用以下多項式來近似地表示：
對于一般的函數，泰勒公式的系數的選擇依賴于函數在一點的各階導數值。這個想法的原由可以由微分的定義開始。微分是函數在一點附近的最佳線性近似：
，其中
是比h 高階的無窮小。
也就是說
，或
。
百度百科上的解釋
數學中，泰勒公式是一個用函數在某點的資訊描述其附近取值的公式。如果函數足夠平滑的話，在已知函數在某一點的各階導數值的情況之下，泰勒公式可以用這些導數值做系數建構一個多項式來近似函數在這一點的鄰域中的值。泰勒公式還給出了這個多項式和實際的函數值之間的偏差。
泰勒公式是将一個在x=x0處具有n階導數的函數f（x）利用關于（x-x0）的n次多項式來逼近函數的方法。
若函數f（x）在包含x0的某個閉區間[a,b]上具有n階導數，且在開區間（a,b）上具有（n+1）階導數，則對閉區間[a,b]上任意一點x，成立下式：
其中，表示f（x）的n階導數，等号後的多項式稱為函數f（x）在x0處的泰勒展開式，剩餘的Rn（x）是泰勒公式的餘項，是（x-x0）n的高階無窮小。
在知乎上看到的幾個答案
麥克勞林展開：
容易看出，實際上就是從0這個點的函數值出發，然後把各階導數全部加起來。
下面的階乘不過是為了消掉X本身求導帶出的東西而已。
需要注意的是，泰勒公式适用于局部的近似。即，如果知道某點的值，我們可以用泰勒求出該點附近的點的值，如果兩個點離得很遠，泰勒公式就會産生很大誤差。
那麼我們想想為什麼要把導數全部加起來？導數的意義是什麼？我們都知道，在實體的時間-位移函數中，求一階導數就得到速度，說白了就是位移的變化率；求二階導就得到了加速度，說白了就是速度（一階導）的變化率。是以，容易看出，實際上每一階導數都是上一階導數的變化率。至此，泰勒公式的含義就很明确了。我們知道一個時點的值比如f(0)，然後我們想求f(x)，我們隻要讓函數從f(0)走到f(x)然後考慮過程中的所有變化就可以了。
舉例：一個老司機開車（考慮一維的情況）向前行駛，這人開車很任性，一下加速一下減速，完全由着性子來。那麼我知道他0時間在a這個位置，請問他2分鐘後開到了什麼位置呢？
首先直接速度乘以時間，不準确，因為這老司機開車的速度老在變化；那我們考慮速度的變化，即考慮一個加速度，好像比剛才好點，但是還是不準确，因為這老司機一下踩油門一下踩刹車，連加速度都是變化的；好，那我們再考慮加速度的變化……
由此一直考慮下去，如果我們能描述，這個開車的人在這兩分鐘裡，每個時間的速度的變化，加速度的變化……我們就能得到兩分鐘後他的位置。
即：不論其車開得有多任性，隻要我從初始點開始，把這個過程中的車的每一個變化，每一個變化的變化，每一個變化的變化的變化，每一個變化的變化的變化的變化……都考慮到了，就能近似得到最終目标點的情況。而且越往後考慮，得到的結果越精确。
這就是泰勒展開的含義啦。
參考：
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B3%B0%E5%8B%92%E5%85%AC%E5%BC%8F
https://baike.baidu.com/item/%E6%B3%B0%E5%8B%92%E5%85%AC%E5%BC%8F/7681487?fr=aladdin
https://www.zhihu.com/question/21149770