數學 - 泰勒公式，常見麥克勞林公式及Maple函數拟合

泰勒公式可以将一個函數在某點展開成多項式函數的形式，通常可用于近似計算。多項式函數是最簡單的一類函數，将複雜函數轉換成多項式函數可簡化對原始函數的研究，求導，求積分都比較友善。麥克勞林公式是泰勒公式在x=0處的展開形式，是泰勒公式的簡化版和特例。

泰勒公式：

若函數 f(x) 在包含

的某個閉區間[a,b]上具有n階導數，且在開區間（a,b）上具有（n+1）階導數，則對閉區間[a,b]上任意一點x，成立下式：

上面的多項式稱為 f(x) 在點

處的泰勒展開式，該公式為泰勒公式。

特别的，當泰勒公式中

取0的時候，若f(x)在x=0處n階連續可導，則下式成立：

該公式稱為為麥克勞林公式。

研究泰勒公式（麥克勞林公式）的意義在于其可以将任意一個函數轉換成多項式函數的近似表達，這樣就能用多項式函數來拟合原函數。

常見麥克勞林公式：

指數函數：

自然對數：

正弦函數：

餘弦函數：

Maple函數拟合：

下面通過Mapl來求麥克勞林展開式，及繪制相關的函數圖像。

sin(x)

cos(x)

ln(1+x)

exp(x)

1/(1-x)