泛函分析 05.04 共轭空間和共轭算子 - 自共轭的有界線性算子

§5.4自共轭的有界線性算子 

∙以下我們還是在Hilbert空間中讨論,A是從H到 

H的有界線性算子. 

1.在有限維空間,A=(a ij )的共轭算子(共轭轉置矩陣)是 

A ∗ =(a ¯  ji )(H↦H的映射). 

2.在實的Hilbert空間,A=A ∗ ⇔a ij =a ji ,即A是對稱的. 

∙我們考慮的問題: 

在Hilbert空間是否可以類似的考慮線性算子A的某種對稱性? 

即:A和A ∗ 的關系. 

∙(5.3.11)式定義的A的共轭算子A ∗ 也是從H到H的有界線性算子, 

∙于是可以研究和比較A和A ∗ ,看它們是否相等? 

即它是否是自共轭. 

∗對稱具有許多非常好的美學性質,自共轭是對稱的一個直接推廣. 

▼下面我們将看到,自共轭算子具有與對稱矩陣相類似的許多性質, 

自共轭算子的譜(特征值)是相對簡單的. 

5.4.1有界自共轭算子的定義、例 

定義5.4.1是A是Hilbert空間H到H的有界線性算子. 

如果A=A ∗ ,則稱A是自共轭的. 

注1：由定義5.3.5,有界線性算子A是自共轭的,當且僅當 

(Ax,y)=(x,Ay),∀x,y∈H(5.4.1) 

注2：對于有界線性算子而言,自共轭算子也稱為對稱算子. 

例5.4.2令H=C n ,其上定義的内積為(x,y)=∑ i=1 n ξ i η i  ¯ ¯ ¯  , 

A是C n 到C n 的有界線性算子, 

A=(a ij ),i,j=1,2,⋯,n,Ax=z, 

其中x=(ξ 1 ,ξ 2 ,⋯,ξ n ),z=(ς 1 ,ς 2 ,⋯,ς n ),且 

ς i =∑ j=1 n a ij ξ j (i=1,2,⋯,n) 

對于∀y∈C n ,y=(η 1 ,η 2 ,⋯,η n ),由于 

(Ax,y)=∑ i=1 n (∑ j=1 n a ij ξ j )η i  ¯ ¯ ¯  =∑ j=1 n ∑ i=1 n a ij η i  ¯ ¯ ¯  =∑ j=1 n (∑ i=1 n a ij η i  ¯ ¯ ¯  )ξ j  

=∑ j=1 n (∑ i=1 n a ¯  ij η i ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  ξ j =∑ i=1 n ξ i (∑ j=1 n a ¯  ji η j ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  =(x,A ∗ y), 

我們有A ∗ =(a ¯  ji )=(a ij ) ∗ ,即A ∗ 是A的轉置共轭. 

A=(a ij ) n×n ,A ∗ =(a ¯  ji ) n×n  

是以A是自共轭的充分必要條件是矩陣(a ij ) 

和它的共轭轉置矩陣(a ¯  ji )相等. 

注:如果在R n 中,A是自共轭的充分必要條件是矩陣 

A=(a ij ) n×n 是對稱的. 

例5.4.3記H=L 2 (I),其中I⊂R是一個可測集合. 

k(s,t)是I×I→C的函數,滿足 

∫ I ∫ I |k(s,t)| 2 dsdt<∞(5.4.2) 

K是L 2 (I)到L 2 (I)的線性算子,定義z=Kx,其中 

z(s)=∫ I k(s,t)x(t)dt(5.4.3) 

它的共轭算子K ∗ : 

(K ∗ y)(s)=∫ I k(t,s) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  y(t)dt, 

注：條件(5.4.2)保證K從L 2 (I)到L 2 (I)是有界的. 

證明:對于∀y∈L 2 (I)由于 

(Kx,y)=∫ I [∫ I k(s,t)x(t)dt]y(s) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  ds 

=∫ I ∫ I [k(s,t)x(t)]y(s) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  dsdt 

=∫ I x(t)[∫ I k(s,t) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  y(s)ds] ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  dt=(x,K ∗ y). 

是以 

(K ∗ y)(s)=∫ I k(t,s) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  y(t)dt=∫ I k ∗ (s,t)y(t)dt, 

即K ∗ 也是積分算子,且k ∗ (s,t)=k(t,s) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯   

注：積分算子K是自共轭算子的充要條件是 

k(s,t)=k(t,s) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  ,t,s∈I. 

例5.4.4在L 2 (−∞,∞)上考慮乘法算子 

F:x(t)→f(t)x(t), 

其中|f(t)|≤M<∞幾乎處處成立. 

容易驗證，F是有界線性算子且 

∥F∥=esssup t∈R |f(t)|=∥f∥ ∞  

由于 

(Fx,y)=∫ ∞ −∞ f(t)x(t)y(t) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  dt=∫ ∞ −∞ x(t)f(t) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  y(t) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  dt=(x,F ∗ y) 

即它的共轭算子F ∗ 也是乘法算子: 

F ∗ :y(t)→f(t) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  y(t). 

注：顯然F是自共轭的,當且僅當f(t)是實函數. 

5.4.2自共轭算子的性質 

∗顯然,若A和B是自共轭的,則A+B也是自共轭的, 

∗并且對于任何的實數α,αA也是自共轭的. 

▶進一步地我們有: 

定理5.4.5Hilbert空間H上的全體自共轭算子組成的 

集合是B(H)中的一個閉集. 

證明:考慮B(H)中的一個由自共轭算子A n 組成的點列 

A n →A(n→∞),A∈B(H). 

我們要證明A是自共轭的. 

即 

(Ax,y)−(x,Ay)=0,∀x,y∈H. 

由于A n 是自共轭的,我們有對∀x,y∈H 

|(Ax,y)−(x,Ay)| 

=|(Ax,y)−(A n x,y)+(x,A n y)−(x,Ay)| 

≤|((A−A n )x,y)|+|(x,(A n −A)y| 

≤2∥A n −A∥∥x∥∥y∥→0(n→∞), 

即(Ax,y)=(x,Ay),是以A是一個自共轭算子. 

注:全體自共轭算子組成實的賦範線性空間,但是在複的有 

界線性算子空間B(H)中,它不是B(H)中的子空間. 

定理5.4.6設A、B是Hilbert空間上的有界自共轭算子, 

則AB是自共轭的充要條件是AB=BA. 

證明:按照定義,AB是自共轭的⇔對于∀x,y∈H有 

(ABx,y)=(x,ABy). 

由于A、B是自共轭的, 

根據共轭算子的定義,我們有:對∀x,y∈H 

(ABx,y)=(Bx,A ∗ y)=(Bx,Ay) 

=(x,B ∗ Ay)=(x,BAy), 

即AB是自共轭的⇔AB=BA. 

定理5.4.7設A是Hilbert空間H上的有界線性算子, 

則A是自共轭的當且僅當對∀x∈H,(x,Ax)是實的. 

證明:(⇒)因為A是自共轭的,是以 

(x,Ax)=(Ax,x)=(x,Ax) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  . 

(⇐)如果(x,Ax)=(x,Ax) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  =(Ax,x),對于任何的 

x,y∈H,由直接計算我們有 

4(x,Ay)=(x+y,A(x+y))−(x−y,A(x−y))+i(x+iy,A(x+iy))−i(x−iy,A(x−iy)) 

=(A(x+y),x+y)−(A(x−y),x−y)+i(A(x+iy),x+iy)−i(A(x−iy),x−iy) 

=4(Ax,y), 

即A=A ∗ . 

定理5.4.8設A是Hilbert空間H中有界自共轭算子,則 

∥A∥=sup x∈H {|(Ax,x)|∥x∥=1} 

=sup x∈H,y∈H {|(Ax,y)||∥x∥=∥y∥=1}. 

證明：令α=sup{|(Ax,x)|∥x∥=1},因為 

|(Ax,x)|≤∥A∥∥x∥ 2 , 

是以α≤∥A∥. 

反之,對于任何的γ>0,由于(Ax,Ax)=(A 2 x,x), 

通過直接計算和應用平行四邊形法則, 

4∥Ax∥ 2 =(A(γx+γ −1 Ax),γx+γ −1 Ax)−(A(γx−γ −1 Ax),γx−γ −1 Ax) 

≤α∥γx+γ −1 Ax∥ 2 +α∥γx−γ −1 Ax∥ 2  

=2α(γ 2 ∥x∥ 2 +γ −2 ∥Ax∥ 2 )(5.4.4) 

不妨設∥Ax∥≠0,令γ −2 =∥x∥∥Ax∥ ,由(5.4.4)式有 

4∥Ax∥ 2 ≤2α(∥Ax∥∥x∥ ∥x∥ 2 +∥x∥∥Ax∥ ∥Ax∥ 2 ) 

≤4α∥Ax∥∥x∥(5.4.5) 

于是我們有∥A∥≤α.令 

β=sup x∈H,y∈H {|(Ax,y)||∥x∥=∥y∥=1}, 

因為|(Ax,y)|≤∥A∥∥x∥∥y∥,是以β≤∥A∥, 

注意到α≤β,結合∥A∥≤α.有∥A∥=α=β. 

5.4.3Cartesian分解 

∙對∀z∈C,可分解為:z=a+bi,其中a,b∈R. 

▶類似地: 

定理5.4.9設H是一個Hilbert空間,T∈B(H),則 

T可分解成 

T=A+iB,(5.4.6) 

其中A、B是Hilbert空間中的有界自共轭算子,并且 

這種分解是唯一的. 

證明:令 

A=12 (T+T ∗ ),B=12i (T−T ∗ )(5.4.7) 

顯然A=A ∗ ,B=B ∗ ,即A、B是有界自共轭算子,且 

T=A+iB,T ∗ =A−iB(5.4.8) 

可以證明這樣的分解是唯一的. 

事實上,若T=A 1 +iB 1 ,其中A 1 、B 1 是自共轭的,于是有 

A−A 1 =i(B 1 −B), 

這樣對于∀x∈H,有 

((A−A 1 )x,x)=(i(B 1 −B)x,x)=i((B 1 −B)x,x). 

由于A−A 1 和B−B 1 是自共轭的,上式左邊是實的, 

右邊是純虛數(如果不是0). 

于是 

((A−A 1 )x,x)=i((B 1 −B)x,x)=0,∀x∈H, 

由于A−A 1 和B−B 1 是自共轭的,根據定理5.4.8有 

A−A 1 =B−B 1 =0. 

注：(5.4.6)式給出的分解T=A+iB,其中A、B是 

Hilbert空間中的有界自共轭算子,稱為T的Cartesian分解.