泛函分析 01.06 距離空間-完備距離空間的性質和一些應用

§1.5完備距離空間的性質和一些應用 

1.5.1閉球套定理 

在距離空間中引入了開集、閉集等概念後，我們 

研究了空間中序列的收斂性，Cauchy列； 

讨論了空間的列緊性、可分性、完備性. 

實數空間是完備的，在實數空間中，Cauchy準則、區間套定理等重要定理都成立. 

我們在這裡把這些性質推廣到一般的完備的距離空間. 

在完備的距離空間中，類似于數學分析中的區間套定理，我們有以下定理： 

定理1.5.1X是完備的距離空間, 

S ¯ ¯   n =S ¯ ¯   n (x n ,r n )(n=1,2,⋯)是X中的一系列閉球套: 

S ¯ ¯   1 ⊃S ¯ ¯   2 ⋯⊃S ¯ ¯   n ⊃⋯,(1.5.1) 

且r n →0(n→∞),則存在X中唯一的一點 

x∈⋂ n=1 ∞ S ¯ ¯   n  

證明分三步: 

1.找到這樣的x;2.證明x∈⋂ n=1 ∞ S ¯ ¯   n ;3.證唯一性. 

證明:(1)設{x n }是球心組成的點列,是以 

d(x n ,x m )<r n (m>n) 

∵r n →0(n→∞),∴∀ε>0,∃N,當n,m>N時 

d(x n ,x m )<r n <ε(m>n>N)(1.5.2) 

是以{x n }是Cauchy列. 

因為X完備,是以存在x,使得lim n→∞ x n =x. 

(2)由于是閉球套,是以對于任意的m>n,有 

d(x n ,x m )<r n , 

根據距離的連續性,令m→∞,得到 

d(x n ,x)≤r n (∀n)(1.5.3) 

是以對于任意的n,我們有x∈S ¯ ¯  (x n ,r n ). 

于是x∈⋂ n=1 ∞ S ¯ ¯  (x n ,r n ). 

(3)如果存在y∈⋂ n=1 ∞ S ¯ ¯   n ,則對于任意的n,有 

d(x n ,y)≤r n , 

令n→∞,則d(x,y)=0,即x=y. 

注:類似地可以證明“閉集套"定理,即:如果閉集一個套着一個,并且閉集的直徑趨近于0,則 

有唯一的點被套在其中(這個點屬于所有的閉集). 

利用閉集套定理可以證明下面大家熟知的命題. 

例1.5.2證明三角形的中線交一點. 

分析:三角形(三頂點加邊界及其内部)是一閉集,中線的兩兩交點都位于其内. 

注意到三條中線上各有一段成為以(原來的)三角形三中點為頂點的新三角形的中線, 

如此下去,可形成閉集套.利用閉集套定理來證明中線交于一點. 

證明:(1)把以A,B和C為頂點,加上邊界的三角形及其内部記為ΔABC(如圖),它是閉集. 

(2)顯然ΔABC的三條中線AA 1 ,BB 1 和CC 1 包含在ΔABC中, 

是以它們的兩兩交點也包含在ΔABC中,且ΔA 1 B 1 C 1 ⊂ΔABC 

(3)注意到三條中線AA 1 ,BB 1 和CC 1 上各有一段A 1 A 2 ,B 1 B 2 和C 1 C 2  

成為ΔA 1 B 1 C 1 的三條中線. 

是以ΔABC的三條中線的兩兩交點也就是ΔA 1 B 1 C 1 的三條中線的兩兩交點, 

且交點包含在ΔA 1 B 1 C 1 中,同時又有ΔA 2 B 2 C 2 ⊂ΔA 1 B 1 C 1 . 

(4)如此做下去,就得到三角形組成的閉集序列 

ΔABC⊃ΔA 1 B 1 C 1 ⊃ΔA 2 B 2 C 2 ⊃⋯, 

(5)顯然它們滿足：lim k→∞ diamΔA k B k C k =0, 

(6)是以存在唯一的公共點O屬于所有這些三角形. 

因為ΔABC的三條中線的兩兩交點始終包含在每一個三角形内,是以三條中線 

必定交于一點,而O點就是它們的交點. 

1.5.2壓縮映射原理 

不動點問題是數學研究中的重要問題之一, 

所謂一個映射T的不動點是指: 

T把這個點映射為自身,即Tx=x. 

任何解方程問題都可以轉化為求不動點的問題: 

F(x)=0↔F(x)+x=x, 

或者寫為F 1 (x)=x.令Tx=F 1 (x), 

則解方程問題轉化為求不動點x:Tx=x. 

因而研究不動點理論及其應用具有重要的理論意義及應用價值. 

例如在實數範圍内求方程y=x 2 −2x+1=0,令 

Tx=x 2 −x+1, 

則求解一進制二次方程的問題轉化為: 

什麼時候Tx=x,x∈R, 

也就是說,映射T有沒有不動點. 

在代數方程、微分方程、積分方程及其它各類方程理論中 

解的存在性，唯一性以及近似解的收斂性都是很重要的課題, 

在許多關于存在唯一性的定理的證明中,“不動點”是一個有力的工具. 

不動點定理是泛函分析中最基本的一個存在性定理. 

分析中的許多存在性定理都是不動點定理的特例. 

不動點理論已發展成為非線性泛函分析的重要内容之一. 

多項式根的近似計算顯著的技巧或許就是逐次疊代法,這個方法起源很早. 

例1.5.3Newton疊代求根(Newton切線法) 

x k+1 =x k −f(x k )f ′ (x k ) ,k=0,1,2,⋯ 

如果lim n→∞ x n =x ∗ ,我們有f(x ∗ )=0. 

首先将這個技巧應用于無窮維情形的是Liouville,他成功 

地利用這個技巧求解常微分方程初值問題. 

1922年,Banach把這個結果抽象化,用距離空間及壓縮映射 

(壓縮映射是一種特殊的非線性映射)等概念更一般地描述這個 

方法,也就是著名的Banach不動點定理,或壓縮映像原理. 

考慮微分方程的初值問題: 

⎧ ⎩ ⎨ dxdt =f(x,t),x| t=0 =x 0 . (1.5.4) 

兩邊積分,問題轉化為積分方程: 

x(t)=x(0)+∫ t 0 f(x(τ),τ)dτ(1.5.5) 

令Tx=x 0 +∫ t 0 f(x(τ),τ)dτ(1.5.6) 

則T是一個從x(t)到Tx的映射. 

微分方程初值問題轉化為這個積分算子Tx是否有不動點, 

即在空間X是否存在元素x,滿足Tx=x. 

定理1.5.4(壓縮映射原理,Banach不動點定理) 

設(X,d)是完備的距離空間,T:X→X.如果對于任意的x,y∈X,不等式 

d(Tx,Ty)≤θd(x,y)(1.5.7) 

成立,其中0<θ<1, 

則存在唯一的x ¯ ∈X,使得 

Tx ¯ =x ¯  

分析:首先找到T的不動點,再證明唯一性. 

由(1.5.7)式,我們看到T作用後兩點間的距離成比例地 

壓縮,是一壓縮映射.希望用疊代法找到不動點. 

任取x 0 ∈X,令 

x 1 =Tx 0 ,x 2 =Tx 1 ,⋯,x n+1 =Tx n ,⋯ 

若能證明 

(i)x n →x ¯ (n→∞), 

(ii)T連續, 

則可推出x ¯ =Tx ¯ . 

為了證明(i),由于空間完備,要證收斂隻要能證明{x n }是Cauchy列即可; 

對于(ii),因為T是壓縮映射,由連續映射的定義可知T連續. 

證明:(1)T是連續的(一緻連續). 

事實上,∀ε>0,取δ=ε>0,當d(x,y)<δ時, 

d(Tx,Ty)≤θd(x,y)<δ=ε 

(2)用疊代法求x ¯  

任取x 0 ∈X,令 

x 1 =Tx 0 ,x 2 =Tx 1 ,⋯,x n+1 =Tx n ,⋯, 

下面證明{x n }為Cauchy列.由于 

d(x 1 ,x 2 )=d(Tx 0 ,Tx 1 )≤θd(x 0 ,x 1 )=θd(x 0 ,Tx 0 ), 

d(x 2 ,x 3 )=d(Tx 1 ,Tx 2 )≤θd(x 1 ,x 2 )=θ 2 d(x 0 ,Tx 0 ), 

⋯⋯ 

d(x n ,x n+1 )≤θ n d(x 0 ,Tx 0 ), 

⋯⋯ 

于是對于任意的自然數p, 

d(x n ,x n+p ) 

≤d(x n ,x n+1 )+d(x n+1 ,x n+2 )+⋯+d(x n+p−1 ,x n+p ) 

≤θ n d(x 0 ,Tx 0 )+θ n+1 d(x 0 ,Tx 0 )+⋯+θ n+p−1 d(x 0 ,Tx 0 ) 

<θ n 1−θ d(x 0 ,Tx 0 )  <script id="MathJax-Element-648" type="math/tex">< \dfrac{\theta^n}{1 - \theta} d(x_0, Tx_0)</script>

因為0<θ<1,是以{x n }是Cauchy列. 

由于(X,d)完備,是以存在x ¯ ,使得x n →x ¯ (n→∞) 

由于T是連續的,我們有 

lim n→∞ Tx n =Tlim n→∞ x n =Tx ¯ , 

由疊代公式,x n+1 =Tx n ,我們得到:x ¯ =Tx ¯ . 

(3)唯一性:若存在y ¯ 使得 

Ty ¯ =y ¯  

則 

d(x ¯ ,y ¯ )=d(Tx ¯ ,Ty ¯ )≤θd(x ¯ ,y ¯ ) 

由于0<θ<1,于是d(x ¯ ,y ¯ )=0,故x ¯ =y ¯ . 

注1:距離空間(X,d)完備是必須的. 

注2:條件d(Tx,Ty)≤θd(x,y),0<θ<1, 

不能改為d(Tx,Ty)<d(x,y). 

注3:由于 

d(x n ,x n+p )≤θ n 1−θ d(x 0 ,Tx 0 ), 

令p→∞,其誤差為: 

d(x n ,x ¯ )≤θ n 1−θ d(x 0 ,Tx 0 ), 

{x n }收斂的速度很快. 

注4:定理中并不要求T是線性算子. 

定理1.5.5.設(X,d)是完備的距離空間,T是從X到X的映射,如果存在正整數n 0 ， 

使得對所有的x,y∈X, 

d(T n 0  x,T n 0  y)≤θd(x,y)(1.5.8) 

其中0<θ<1,則T有唯一的不動點. 

分析:由(1.5.8)式,我們看到T n 0  滿足不動點定理的條件,存在唯一不動點x ¯ . 

要證T有唯一不動點.考慮T n 0  的不動點是否就是T的不動點. 

進一步驗證Tx ¯ =x ¯ . 

證明：因T n 0  滿足不動點定理,故存在唯一x ¯ ,使得T n 0  x ¯ =x ¯ . 

因為T n 0  (Tx ¯ )=T(T n 0  x ¯ )=Tx ¯ , 

是以Tx ¯ 也是T n 0  的不動點. 

唯一性:(反證法)設x ¯  1 也是T的不動點,則 

T n 0  x ¯  1 =T n 0 −1 (Tx ¯  1 )=T n 0 −1 (x ¯  1 )=⋯=Tx ¯  1 =x ¯  1 , 

是以x ¯  1 也是T n 0  的不動點, 

由T n 0  不動點的唯一性,我們有x ¯ =x ¯  1 . 

進一步,有以下不動點定理. 

定理1.5.6(Brouwer)設B是R n 中的閉機關球, 

設T:B→B是一個連續映射,則T必有一個不動點x∈B. 

例1.5.7設f(x)是定義在[−1,1]上的連續函數,且其值域 

包含在[−1,1]中,則存在x ¯ ∈[−1,1],使得:f(x ¯ )=x ¯ . 

在無窮維空間有 

定理1.5.8(Schauder)設C是線性賦範空間X中的一個閉凸子集, 

T:C→C,連續且T(C)列緊,則T在C上必有一個不動點. 

這些定理的證明參閱張恭慶等“泛函分析講義”(上冊)p49. 

1.5.3壓縮映射原理的應用 

例1.5.9(微分方程) 

⎧ ⎩ ⎨ dxdt =f(x,t),x| t=0 =x 0 . (1.5.9) 

其中f(x,t)在平面上連續,且對于變量x滿足Lipschitz條件: 

|f(x 1 ,t)−f(x 2 ,t)|≤K|x 1 −x 2 |, 

則方程(1.5.9)在t=0的某個鄰域中有唯一解. 

分析:方程(1.5.9)即為前面的方程(1.5.4),此初值問題可轉 

化為一個與其等價的積分映射的不動點問題(見(1.5.6)式). 

Tx=x 0 +∫ t 0 f(x(τ),τ)dτ 

我們先證明這個積分映射是壓縮映射. 

然後利用壓縮映像原理證明方程有唯一解. 

證明：(1)确立距離空間,建立映射. 

取δ>0,使得δK<1. 

在空間C[−δ,δ]上考慮如下映射(積分算子): 

Tx=x 0 +∫ t 0 f(x(τ),τ)dτ 

則T是從C[−δ,δ]到C[−δ,δ]自身的映射. 

(2)驗證映射滿足不動點定理條件. 

d(Tx,Ty)=max −δ≤t≤δ |∫ t 0 [f(x(τ),τ)−f(y(τ),τ)]dτ| 

≤Kmax −δ≤t≤δ ∫ t 0 |x(τ)−y(τ)|dτ 

≤Kδmax −δ≤t≤δ |x(t)−y(t)|=Kδ⋅d(x,y). 

由于0<Kδ<1,且C[−δ,δ]是完備的, 

由壓縮映射原理,方程(1.5.9)在[−δ,δ]上有唯一解. 

例1.5.10考慮線性方程組 

ξ i −∑ j=1 n a ij ξ j =b i (i=1,2,⋯,n),(1.5.10) 

其中 

∑ i=1 n ∑ j=1 n |a ij | 2 <1,(1.5.11) 

則方程組有唯一解. 

分析：考慮将方程組化為映射的不動點問題. 

假定x={ξ 1 ,ξ 2 ,⋯,ξ n },定義Tx,使得其第 

i(i=1,2,⋯,n)個分量的作用形式為∑ j=1 n a ij ξ j +b i , 

則方程組可轉化為R n 空間上Tx=x的不動點問題. 

證明:(1)建立映射:設 

(Tx) i =∑ j=1 n a ij ξ j +b i ,(i=1,2,⋯,n).(1.5.12) 

x={ξ 1 ,ξ 2 ,⋯,ξ n }, 

則T是R n 到R n 的一個映射. 

(2)驗證映射滿足不動點定理條件.由于 

d(Tx 1 ,Tx 2 )={∑ i=1 n [(∑ j=1 n a ij ξ (1) j +b i )−(∑ j=1 n a ij ξ (2) j +b i )] 2 } 12   

={∑ i=1 n [∑ j=1 n a ij (ξ (1) j −ξ (2) j )] 2 } 12   

而 

{∑ i=1 n [∑ j=1 n a ij (ξ (1) j −ξ (2) j )] 2 } 12  ≤{∑ i=1 n ∑ j=1 n a 2 ij ∑ j=1 n |ξ (1) j −ξ (2) j | 2 } 12   

=(∑ i=1 n ∑ j=1 n |a ij | 2 ) 12  (∑ j=1 n |ξ (1) j −ξ (2) j | 2 ) 12   

=θd(x 1 ,x 2 ) 

其中 

θ=(∑ i=1 n ∑ j=1 n |a ij | 2 ) 12  <1, 

根據壓縮映射原理,方程組(1.5.10)有唯一解. 

例1.5.11在上例中,若将條件(1.5.11)改為 

α=max 1≤i≤n ∑ j=1 n |a ij |<1,(1.5.13) 

則方程組(1.5.10)也有唯一解. 

分析：解決問題的思路和方法同上. 

事實上,如果n維向量空間的距離定義為 

d(x,y)=max 1≤i≤n |ξ i −η i |,(1.5.14) 

其中x=(ξ 1 ,ξ 2 ,⋯,ξ n ),y=(η 1 ,η 2 ,⋯,η n ) 

(1)令(Tx) i =∑ j=1 n a ij ξ j +b i (i=1,2,⋯,n) 

(2)d(Tx 1 ,Tx 2 )=max 1≤i≤n |(∑ j=1 n a ij ξ (1) j +b i )−(∑ j=1 n a ij ξ (2) j +b i )| 

=max 1≤i≤n |∑ j=1 n a ij (ξ (1) j −ξ (2) j )| 

≤max 1≤j≤n |ξ (1) j −ξ (2) j |⋅max 1≤i≤n ∑ j=1 n |a ij | 

=αd(x 1 ,x 2 ) 

因為α<1,是以T是一個壓縮映射,根據壓縮映射原理, 

方程組(1.5.10)有唯一解. 

注：上述兩個不同的條件(1.5.11)和(1.5.13),都可确定方程組(1.5.10)有唯一解, 

要注意的是：研究不同問題時選取的距離不同. 

例1.5.12Fredhom積分方程 

x(t)=φ(t)+μ∫ b a k(t,s)x(s)ds,(1.5.15) 

其中k(t,s),φ(t)是a≤t≤b,a≤s≤b上連續函數, 

則當0<|μ||b−a|M<1時,方程存在唯一解,其中 

M=max a≤t≤b,a≤s≤b |k(t,s)| 

證明：(1)令 

Tx=φ(t)+μ∫ b a k(t,s)x(s)ds(1.5.16) 

T是從C[a,b]到C[a,b]的映射. 

(2)對任意x,y∈C[a,b],有 

d(Tx 1 ,Tx 2 )=max a≤t≤b |μ||∫ b a [k(t,s)(x 1 (s)−x 2 (s))]ds| 

≤|μ||b−a|Mmax a≤t≤b |x 1 (t)−x 2 (t)| 

=|μ||b−a|Md(x 1 ,x 2 ) 

其中 

M=max a≤t≤b,a≤s≤b |k(t,s)| 

當0<|μ||b−a|M<1時,由壓縮映射原理,方程(1.5.15)有唯一解. 

例1.5.13Volterra積分方程 

x(t)=φ(t)+μ∫ t a k(t,s)x(s)ds,(1.5.17) 

其中k(t,s)是a≤t≤b,a≤s≤b上的連續函數,則方程存在唯一解. 

分析:證明用到了定理1.5.5,若對于映射T存在自然數n 0 , 

使得T n 0  滿足壓縮映射原理條件,則T有唯一不動點. 

證明：(1)令 

Tx=φ(t)+μ∫ t a k(t,s)x(s)ds,(1.5.18) 

T是從C[a,b]到C[a,b]的映射. 

(2)對任意x,y∈C[a,b],有 

|Tx 1 −Tx 2 |=|μ||∫ t a k(t,s)[x 1 (s)−x 2 (s)]ds| 

≤|μ|M(t−a)max a≤t≤b |x 1 (t)−x 2 (t)| 

其中M=max a≤t≤b,a≤s≤b |k(t,s)| 

(3)進一步，有 

|T 2 x 1 −T 2 x 2 |=|T(Tx 1 )−T(Tx 2 )| 

≤|μ| 2 M 2 ∫ t a (τ−a)max a≤t≤b |x 1 (τ)−x 2 (τ)|dτ 

=|μ| 2 M 2 (t−a) 2 2 max a≤t≤b |x 1 (t)−x 2 (t)| 

(4)一般地,有 

|T n x 1 −T n x 2 |≤|μ| n M n (t−a) n n! max a≤t≤b |x 1 (t)−x 2 (t)| 

(5)是以 

d(T n x 1 ,T n x 2 )≤|μ| n M n (b−a) n n! d(x 1 ,x 2 ), 

由于 

|μ| n M n (b−a) n n! →0(n→∞) 

是以,對充分大的n,有 

0<|μ| n M n (b−a) n n! <1 

由定理1.5.5,方程(1.5.17)存在唯一解. 

注意例1.5.13和例1.5.12的差別. 

注：上述這些關于求解方程的例子,都是通過把原來的問題 

轉化為不動點問題解決的. 

壓縮映射原理在隐函數存在性定理，研究各類方程解的存在性、唯一性以及近似解的收斂性等理論中起到了十分重要的作用.