泛函分析 05.06 共轭空間和共轭算子 - 習題課

§5.6共轭空間和共轭算子習題課 

1.設X是線性賦範空間,f是X上的非零有界線性泛函, 

則存在x 0 ∈X,使得 

X=N⊕{αx 0 |α∈C}, 

其中N是f的零空間. 

分析: 

∙要找到x 0 ∈X,使得X可以表示為f的零空間N 

與x 0 張成的一維子空間的直接和. 

∙這也就說f的零空間N比全空間X少一維.是以要 

取x 0 ∉N. 

證明:因為f是X上的非零有界線性泛函,則存在 

x 0 ∈X,x 0 ≠0,使得f(x 0 )≠0. 

令 

M=N⊕{αx 0 |α∈C}, 

顯然有 

X⊇M,且N∩{αx 0 |α∈C}={0}. 

下面證X⊆M. 

對于∀x∈M,令 

y=x−f(x)f(x 0 ) x 0 , 

則f(y)=0,進而y∈N. 

是以x可表示為 

x=y+f(x)f(x 0 ) x 0 . 

由于N∩{αx 0 |α∈C}={0},故x的表示是唯一的. 

這表明了X⊆M. 

是以X=N⊕{αx 0 |α∈C}. 

注: 

∙非零有界線性泛函的零空間比全空間僅少一維. 

2.試求下列定義在l 2 上的線性算子的共轭算子: 

(1)T{x 1 ,x 2 ,⋯}={0,x 1 ,x 2 ,⋯}; 

(2)T{x 1 ,x 2 ,⋯}={α 1 x 1 ,α 2 x 2 ,⋯}, 

其中{α k }是有界數列; 

(3)T{x 1 ,x 2 ,⋯}={x 1 ,x 2 ,⋯,x n ,0,⋯}, 

其中n是給定的; 

(4)T{x 1 ,x 2 ,⋯}={α n x n ,α n+1 x n+1 ,⋯}, 

其中{α k }是有界數列,n是給定的. 

分析:l 2 是Hilbert空間,内積為(x,y)=∑ i=1 ∞ x i y i  ¯ ¯ ¯  . 

求l 2 上的線性算子的共轭算子,要用到Hilbert空間上的共轭算子 

的定義5.3.5,即對于任意的x,y∈l 2 ,有 

(Tx,y)=(x,T ∗ y). 

解:(1)對∀x={x 1 ,x 2 ,⋯},y={y 1 ,y 2 ,⋯}∈l 2 , 

(x,T ∗ y)=(Tx,y)=x 1 y 2  ¯ ¯ ¯  +x 2 y 3  ¯ ¯ ¯  +⋯. 

是以T ∗ y=T ∗ {y 1 ,y 2 ,⋯}={y 2 ,y 3 ,⋯}. 

(2)對∀x={x 1 ,x 2 ,⋯},y={y 1 ,y 2 ,⋯}∈l 2 , 

(x,T ∗ y)=(Tx,y)=α 1 x 1 y 1  ¯ ¯ ¯  +α 2 x 2 y 2  ¯ ¯ ¯  +⋯. 

是以T ∗ y=T ∗ {y 1 ,y 2 ,⋯}={α 1  ¯ ¯ ¯ ¯  y 1 ,α 2  ¯ ¯ ¯ ¯  y 2 ,⋯}. 

(3)對∀x={x 1 ,x 2 ,⋯},y={y 1 ,y 2 ,⋯}∈l 2 , 

(x,T ∗ y)=(Tx,y)=x 1 y 1  ¯ ¯ ¯  +x 2 y 2  ¯ ¯ ¯  +⋯+x n y n  ¯ ¯ ¯  . 

是以T ∗ y=T ∗ {y 1 ,y 2 ,⋯}={y 1 ,y 2 ,⋯,y n ,0,⋯}. 

(4)對∀x={x 1 ,x 2 ,⋯},y={y 1 ,y 2 ,⋯}∈l 2 , 

(x,T ∗ y)=(Tx,y)=α n x n y 1  ¯ ¯ ¯  +α n+1 x n+1 y 2  ¯ ¯ ¯  +⋯. 

是以T ∗ {y 1 ,y 2 ,⋯}={0,⋯,0,α n  ¯ ¯ ¯ ¯  y 1 ,α n+1  ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  y 2 ,⋯}. 

注: 

∙對于Banach空間l p (1<p<∞)上定義上述算子, 

也可類似計算共轭算子. 

但需要用到Banach空間共轭算子的概念,即對于任意 

的x∈l p 及任意的f∈(l p ) ∗ , 

(T ′ f)(x)=f(T(x)). 

此外還要考慮到(l p ) ∗ =l q ,即對于任意的f∈(l p ) ∗ , 

存在唯一的y∈l q 使得f(x)=∑ i=1 ∞ x i y i  ¯ ¯ ¯  ,∀x∈l p . 

3.求下列在L 2 (−∞,∞)上定義的線性算子的共轭算子: 

(1)(Tx)(t)=x(t+h)(h是給定的實數); 

(2)(Tx)(t)=a(t)x(t+h)(a(t)是有界可測函數,h是給定的實數); 

(3)(Tx)(t)=12 [x(t)+x(−t)]. 

分析:L 2 (−∞,∞)是Hilbert空間,内積為 

(x,y)=∫ ∞ −∞ x(t)y(t) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  dt. 

求L 2 (−∞,∞)上的線性算子的共轭算子,要用到 

Hilbert空間上的共轭算子的定義5.3.5. 

解(1)因為對∀x,y∈L 2 (−∞,∞)有 

(x,T ∗ y)=(Tx,y)=∫ ∞ −∞ x(t+h)y(t) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  dt 

=∫ ∞ −∞ x(t)y(t−h) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  dt 

故(T ∗ y)(t)=y(t−h). 

(2)因為對∀x,y∈L 2 (−∞,∞)有 

(x,T ∗ y)=(Tx,y)=∫ ∞ −∞ a(t)x(t+h)y(t) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  dt 

=∫ ∞ −∞ x(t)a(t−h) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  y(t−h) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  dt. 

故(T ∗ y)(t)=a(t−h) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  y(t−h). 

(3)因為對∀x,y∈L 2 (−∞,∞)有 

(x,T ∗ y)=(Tx,y)=∫ ∞ −∞ 12 [x(t)+x(−t)]y(t) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  dt 

=∫ ∞ −∞ x(t)[y(t)+y(−t)] ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  2 dt 

故(T ∗ y)(t)=12 [y(t)+y(−t)]. 

4.設L是Hilbert空間H上的有界線性算子.證明下列關系式 

N(L ∗ )=N(LL ∗ );R(L) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  =R(LL ∗ ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  . 

分析:利用共轭算子定義5.3.5及定理5.3.8, 

R(A) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  =N(A ∗ ) ⊥ . 

證明:(1)對∀x∈N(L ∗ ),則L ∗ (x)=0,進而 

LL ∗ (x)=0. 

是以x∈N(LL ∗ ). 

另一方面,對∀x∈N(LL ∗ ),則LL ∗ (x)=0. 

結合共轭算子定義可知 

(L ∗ x,L ∗ x)=(x,LL ∗ x)=(x,0)=0. 

是以L ∗ x=0,進而x∈N(L ∗ ). 

綜上可知N(L ∗ )=N(LL ∗ ). 

(2)由定理5.3.8可得 

R(L) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  =N(L ∗ ) ⊥ =N(LL ∗ ) ⊥ =R(LL ∗ ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯   

5.設T是Hilbert空間H中的自共轭算子且有有界逆算子, 

證明:T −1 也是自共轭算子. 

分析:證明T −1 是自共轭的,由自共轭算子的定義5.4.1 

和共轭算子的定義5.3.5,需要證明對∀x,y∈H, 

(T −1 x,y)=(x,T −1 y). 

也可以用共轭算子的性質((T −1 ) ∗ =(T ∗ ) −1 )直接證明. 

證明:因為T −1 存在且有界且T是自共轭的,是以對于任意的x,y∈H, 

(T −1 x,y)=(T −1 x,TT −1 y)=(TT −1 x,T −1 y)=(x,T −1 y). 

是以T −1 也是自共轭算子. 

6.設T:L 2 [0,1]→L 2 [0,1]由(Tx)(t)=tx(t)定義, 

證明:T是自共轭的有界線性算子. 

分析:首先證明T有界,然後利用自共轭算子定義5.4.1 

以及共轭算子的定義5.3.5證明T是自共轭的. 

證明:顯然T是線性的,且對∀x∈L 2 [0,1]有 

∥Tx∥=(∫ 1 0 t 2 |x(t)| 2 dt) 12  ≤(∫ 1 0 |x(t)| 2 dt) 12  =∥x∥. 

故T是有界線性算子. 

對∀x,y∈L 2 [0,1]有 

(Tx,y)=∫ 1 0 tx(t)y(t) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  dt=∫ 1 0 x(t)ty(t) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  dt=(x,Ty). 

由共轭算子的定義可知 

T=T ∗ . 

即T是自共轭的. 

注： 

∙從上面幾個題目可以看到,Hilbert空間H上的共轭算子 

的概念很關鍵. 

T的共轭算子T ∗ 滿足,對于任意的x,y∈H, 

(Tx,y)=(x,T ∗ y). 

T是有界自共轭的,如果T=T ∗ ,即對于任意的x,y∈H, 

(Tx,y)=(x,Ty). 

7.設H為複Hilbert空間,T為H上的有界線性算子, 

若對一切x∈H,Re(Tx,x)=0,則T=−T ∗ . 

分析:可分三步證明,本題用到定理5.3.6、定理5.4.8: 

1)構造B=T+T ∗ ,證明B是自共轭的. 

2)證明:(Bx,x)=0,∀x∈H. 

3)∥B∥=sup{|(Bx,x)||x∈H,∥x∥=1}=0⇒B=0. 

證明:令B=T+T ∗ ,則B ∗ =T ∗ +T ∗∗ =B,進而B為自共轭算子. 

對于任意x∈H,有 

(Bx,x)=(Tx,x)+(T ∗ x,x) 

=(Tx,x)+(x,Tx)=2Re(Tx,x)=0. 

由于 

∥B∥=sup{|(Bx,x)||x∈H,∥x∥=1}=0, 

故B=0.是以T=−T ∗ . 

注: 

∙本題主要用到自共轭算子T的範數表示(定理5.4.8), 

∥T∥=sup{∥Tx∥|x∈H,∥x∥=1} 

=sup{|(Tx,y)||x∈H,∥x∥=1,∥y∥=1} 

=sup{|(Tx,x)||x∈H,∥x∥=1}. 

8.設X是賦範線性空間,M為X的閉線性子空間. 

證明:如果{x n }⊂M,并且當n→∞時x n → ω x 0 , 

則x 0 ∈M. 

分析:本題用到弱收斂的定義5.5.6以及Hahn−Banach定理的推論5.1.6. 

證明:假設x 0 ∉M.令 

d=dist(x 0 ,M)>0, 

由Hahn−Banach定理的推論可知,存在f∈X ∗ ,使得 

∥f∥=1d ,f(x 0 )=1,f(x)=0,∀x∈M. 

由于x n → ω x 0 ,故f(x n )→f(x 0 )(n→∞). 

又由{x n }⊂M可知f(x n )=0,進而f(x 0 )=0. 

這與f(x 0 )=1沖突.是以x 0 ∈M. 

注：注意比較弱收斂與範數收斂. 

∵|f(x n )−f(x)|=|f(x n −x)|≤∥f∥∥x n −x∥, 

∴x n →x(n→∞)⇒f(x n )→f(x)(n→∞), 

即如果{x n }按範數收斂到x,則{x n }必弱收斂到x. 

反之則不然, 

▶例如:我們在Hilbert空間l 2 中考慮:取 

x n ={0,⋯,1,0,⋯}(n=1,2,⋯), 

則對于任意y={ξ n }∈l 2 , 

(x n ,y)=ξ n →0=(0,y)(n→∞), 

但當m≠n時,∥x n −x m ∥=2  √ ,{x n }不按範數收斂到0.