泛函分析筆記7：弱收斂與弱星收斂

一緻有界性原理的一個應用就是序列和算子的收斂性分析。

文章目錄

• • 1. 序列收斂性
  • 2. 線性泛函收斂性
  • 3. 一般有界線性算子收斂性
  • 4. 應用舉例

1. 序列收斂性

( X , ∥ ⋅ ∥ ) (X,\Vert\cdot\Vert) (X,∥⋅∥)，有 x n , x ∈ X x_n,x\in X xn​,x∈X，稱 x n x_n xn​ 強收斂到 x x x，若 ∥ x n − x ∥ → 0 \Vert x_n-x\Vert \to 0 ∥xn​−x∥→0；稱 x n x_n xn​ 弱收斂到 x x x 若 ∀ f ∈ X ′ \forall f\in X' ∀f∈X′ 都有 f ( x n ) → f ( x ) f(x_n)\to f(x) f(xn​)→f(x)，記為 x n ⟶ w x . x_n \stackrel{w}{\longrightarrow} x. xn​⟶w​x.

關于弱收斂有以下幾條性質：

• 若 x n ⟶ w x , x n ⟶ w y x_n \stackrel{w}{\longrightarrow} x, x_n \stackrel{w}{\longrightarrow} y xn​⟶w​x,xn​⟶w​y，則 x = y x=y x=y；
• 若 x n ⟶ w x x_n \stackrel{w}{\longrightarrow} x xn​⟶w​x，則存在 c ≥ 0 , ∥ x n ∥ ≤ c . c\ge0, \Vert x_n\Vert \le c. c≥0,∥xn​∥≤c.

證明：僅證第二條。這個性質說明 x n x_n xn​ 有界，是以容易想到需要用一緻有界性原理證明，但是該原理說明的是算子的一緻有界，這裡是元素 x n x_n xn​ 有界，是以又可以想到上一篇講到的典範映射 J : X → X ′ ′ J:X\to X'' J:X→X′′ 從元素映射到算子。是以這裡考慮 X ′ X' X′ 上的線性泛函 g n = J ( x n ) : X ′ → R g_n= J(x_n):X'\to \mathbb{R} gn​=J(xn​):X′→R，有 g n ( f ) = f ( x n ) , ∀ f ∈ X ′ . g_n(f)=f(x_n),\forall f\in X'. gn​(f)=f(xn​),∀f∈X′. 于是有 f ( x n ) → f ( x ) f(x_n)\to f(x) f(xn​)→f(x)，因而固定任一 f f f，都有 sup ⁡ n g n ( f ) < ∞ \sup_n g_n(f) < \infty supn​gn​(f)<∞，同時由于 X ′ X' X′ 總為 Banach 空間，利用一緻有界性原理有 sup ⁡ n ∥ g n ∥ = sup ⁡ n ∥ x n ∥ < ∞ \sup_n \Vert g_n\Vert =\sup_n \Vert x_n\Vert < \infty supn​∥gn​∥=supn​∥xn​∥<∞。證畢。

定理： ( X , ∥ ⋅ ∥ ) (X,\Vert\cdot\Vert) (X,∥⋅∥)，有 x n , x ∈ X x_n,x\in X xn​,x∈X，則 x n ⟶ w x x_n \stackrel{w}{\longrightarrow} x xn​⟶w​x 當且僅當：

1. 存在 c ≥ 0 , ∥ x n ∥ ≤ c c\ge0,\Vert x_n\Vert\le c c≥0,∥xn​∥≤c；
2. 并且存在 M ⊂ X ′ , span M ‾ = X ′ M\subset X',\overline{\text{span}M}=X' M⊂X′,spanM​=X′，對 ∀ f ∈ M , f ( x n ) → f ( x ) . \forall f\in M, f(x_n)\to f(x). ∀f∈M,f(xn​)→f(x).（此時 M M M 稱為完全集）

NOTE：該定理簡化了弱收斂的判斷條件，隻需要在 X ′ X' X′ 的一個子集上判斷函數值是否收斂。

證明： " ⟹ " "\Longrightarrow" "⟹" 易證；

" ⟸ " "\Longleftarrow" "⟸"，首先考慮 ∀ f ∈ span M \forall f\in \text{span}M ∀f∈spanM，容易得到 f ( x n ) → f ( x ) f(x_n)\to f(x) f(xn​)→f(x)。然後對 ∀ g ∈ X ′ \forall g\in X' ∀g∈X′，那麼存在 f m ∈ span M f_m\in\text{span}M fm​∈spanM 使得 ∥ f m − g ∥ ≤ 1 / m \Vert f_m-g\Vert \le 1/m ∥fm​−g∥≤1/m，是以

KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ |g(x_n)-g(x)|&…

證畢。

例子 1：考慮 X = ℓ p ( 1 < p < ∞ ) X=\ell^p(1<p<\infty) X=ℓp(1<p<∞)，有 ( ℓ p ) ′ = ℓ q , 1 / p + 1 / q = 1. (\ell^p)'=\ell^q, 1/p+1/q=1. (ℓp)′=ℓq,1/p+1/q=1. 考慮線性泛函 f y ( x ) = ∑ i y i x i , y ∈ ℓ q f_y(x)=\sum_i y_ix_i,y\in \ell^q fy​(x)=∑i​yi​xi​,y∈ℓq，有 ∥ f y ∥ = ∥ y ∥ q \Vert f_y\Vert=\Vert y\Vert_q ∥fy​∥=∥y∥q​。我們考慮 X ′ X' X′ 的子空間 M = { e n , n ≥ 1 } M=\{e_n,n\ge1\} M={en​,n≥1}，其中 e n = ( . . . , 0 , 1 , 0 , . . . ) e_n=(...,0,1,0,...) en​=(...,0,1,0,...) 表示隻有第 n n n 個分量為 1，其餘為 0。那麼 span M ‾ = X ′ \overline{\text{span}M}=X' spanM​=X′，是以要想驗證 x n x_n xn​ 是否弱收斂到 x x x 就隻需要驗證：1）其有界性；2）對每個 f e k , k ≥ 1 f_{e_k},k\ge1 fek​​,k≥1 是否有 f e k ( x n ) → f e k ( x ) ( n → ∞ ) . f_{e_k}(x_n)\to f_{e_k}(x)(n\to\infty). fek​​(xn​)→fek​​(x)(n→∞).

強收斂與弱收斂之間有如下關系：

• x n → x ⟹ x n ⟶ w x x_n\to x \Longrightarrow x_n \stackrel{w}{\longrightarrow} x xn​→x⟹xn​⟶w​x(即強收斂可以導出弱收斂)；
• 若 dim X < ∞ \text{dim}X<\infty dimX<∞，則 x n ⟶ w x ⟹ x n → x x_n \stackrel{w}{\longrightarrow} x\Longrightarrow x_n\to x xn​⟶w​x⟹xn​→x(有限維賦範空間中，強收斂與弱收斂等價)；

證明：僅證第二條。設 dim X = n < ∞ \text{dim}X=n<\infty dimX=n<∞，有限維賦範空間中我們可以找到一組基， x k = λ k , 1 e 1 + ⋯ + λ k , n e n x_k=\lambda_{k,1}e_1+\cdots+\lambda_{k,n}e_n xk​=λk,1​e1​+⋯+λk,n​en​， x = λ 1 e 1 + ⋯ + λ n e n x=\lambda_1 e_1+\cdots+\lambda_n e_n x=λ1​e1​+⋯+λn​en​。那麼

λ k , 1 f ( e 1 ) + ⋯ + λ k , n f ( e n ) → λ 1 f ( e 1 ) + ⋯ + λ n f ( e n ) , ∀ f ∈ X ′ \lambda_{k,1}f(e_1)+\cdots+\lambda_{k,n}f(e_n) \to \lambda_{1}f(e_1)+\cdots+\lambda_{n}f(e_n), \quad\forall f\in X' λk,1​f(e1​)+⋯+λk,n​f(en​)→λ1​f(e1​)+⋯+λn​f(en​),∀f∈X′

由于 f ∈ X ′ f\in X' f∈X′ 任取，那麼我們可以取 f i ( y ) = μ i f_i(y)=\mu_i fi​(y)=μi​，其中 y = μ 1 e 1 + ⋯ + μ n e n y=\mu_1 e_1+\cdots+\mu_n e_n y=μ1​e1​+⋯+μn​en​，即 f i f_i fi​ 取出來第 i i i 個坐标系數。由此可以得到 λ k , i → λ i ( k → ∞ ) \lambda_{k,i}\to\lambda_i(k\to\infty) λk,i​→λi​(k→∞)，然後就容易得到 x n → x . x_n\to x. xn​→x. 證畢。

例子 2：有些無窮維空間中也可以得到 x n ⟶ w x    ⟺    x n → x x_n \stackrel{w}{\longrightarrow} x\iff x_n\to x xn​⟶w​x⟺xn​→x，例如 ℓ 1 . \ell^1. ℓ1.

例子 3：無窮維 Hilbert 空間（ ℓ 2 \ell^2 ℓ2，注意隻有 2 − 2- 2−範數才能定義出對應的内積），考慮 { e 1 , e 2 , … } \{e_1,e_2,\ldots\} {e1​,e2​,…} 為 H H H 的标準正交集，那麼有 e n ⟶ w 0 e_n \stackrel{w}{\longrightarrow} 0 en​⟶w​0 但是 e n ↛ 0 e_n \nrightarrow 0 en​↛0。考慮 ∀ f ∈ H ′ \forall f\in H' ∀f∈H′，存在唯一的 z 0 ∈ H , f ( x ) = ⟨ x , z 0 ⟩ z_0\in H, f(x)=\langle x,z_0\rangle z0​∈H,f(x)=⟨x,z0​⟩，由Bessel方程 ∑ n ∣ ⟨ e n , z 0 ⟩ ∣ 2 ≤ ∥ z 0 ∥ 2 \sum_n|\langle e_n,z_0\rangle|^2\le \Vert z_0\Vert^2 ∑n​∣⟨en​,z0​⟩∣2≤∥z0​∥2，是以 f ( e n ) → 0 ( n → ∞ ) , ∀ f ∈ H ′ f(e_n)\to 0(n\to \infty),\forall f\in H' f(en​)→0(n→∞),∀f∈H′，但另一方面 ∥ e n ∥ = 1 ↛ 0 \Vert e_n\Vert=1\nrightarrow0 ∥en​∥=1↛0。

2. 線性泛函收斂性

對于算子的收斂性，如線性泛函 f n ∈ X ′ f_n\in X' fn​∈X′ 或者有界線性算子 T ∈ B ( X , Y ) T\in B(X,Y) T∈B(X,Y)，收斂性的定義跟上面序列的收斂性是相似的，但是又略有不同。下面就先給出線性泛函收斂性的分析。

同樣考慮賦範空間 X X X， f , f n ∈ X ′ f,f_n\in X' f,fn​∈X′，稱 f n f_n fn​ 弱星收斂到 f f f，若任取 x ∈ X x\in X x∈X 都有 f n ( x ) → f ( x ) f_n(x)\to f(x) fn​(x)→f(x)，記為 f n ⟶ w ⋆ f . f_n \stackrel{w\star}{\longrightarrow} f. fn​⟶w⋆​f.

NOTE：實際上這裡的弱星收斂跟序列的弱收斂是完全對稱的，是以他們的性質也是類似的。

• 弱星收斂極限 f f f 唯一；
• { f n } \{f_n\} {fn​} 的任意子列均弱星收斂到 f f f；
• 若 X X X 為 Banach 空間，則 { f n } \{f_n\} {fn​} 在 X ′ X' X′ 中為有界集。

證明：僅證第三條，對于任意 x ∈ X x\in X x∈X，有 f n ( x ) → f ( x ) f_n(x)\to f(x) fn​(x)→f(x)，是以 f n ( x ) f_n(x) fn​(x) 有界，由一緻有界性原理， sup ⁡ n ∥ f n ∥ < ∞ . \sup_n \Vert f_n\Vert<\infty. supn​∥fn​∥<∞. 證畢。

定理： X X X 為 Banach 空間， f n , f ∈ X ′ f_n,f\in X' fn​,f∈X′，則 f n ⟶ w ⋆ f f_n \stackrel{w\star}{\longrightarrow} f fn​⟶w⋆​f 當且僅當：

1. 存在 c ≥ 0 , ∥ f n ∥ ≤ c c\ge0,\Vert f_n\Vert\le c c≥0,∥fn​∥≤c；
2. 并且存在 M ⊂ X , span M ‾ = X M\subset X,\overline{\text{span}M}=X M⊂X,spanM​=X，對 ∀ x ∈ M , f n ( x ) → f ( x ) . \forall x\in M, f_n(x)\to f(x). ∀x∈M,fn​(x)→f(x).

NOTE：該性質與序列弱收斂的性質完全對稱，證明省略。

NOTE：對于 X ′ X' X′ 中的線性算子 f f f，也有範數的定義，是以我們也可以按照序列的收斂性來定義算子的收斂性。這個時候就用 X ′ X' X′ 代替上面的 X X X，用 X ′ ′ X'' X′′ 代替上面的 X ′ X' X′。我們可以得到什麼樣的強收斂和弱收斂定義呢？（下面并不是标準的數學定義，隻是我為了引出之後的内容做的解釋）

對于 f , f n ∈ X ′ f,f_n\in X' f,fn​∈X′，若滿足 ∥ f n − f ∥ → 0 \Vert f_n-f\Vert\to 0 ∥fn​−f∥→0，則稱 f n f_n fn​ 一緻收斂到 f f f；若對 ∀ g ∈ X ′ ′ \forall g\in X'' ∀g∈X′′，都有 g ( f n ) → g ( f ) g(f_n)\to g(f) g(fn​)→g(f)，那麼稱 f n f_n fn​ 強收斂到 f f f；弱收斂的定義暫且不管。

注意從這個定義的字面意思來看，這裡的一緻收斂對應于上面序列的強收斂；這裡的強收斂對應上面序列的弱收斂，它實際上也就對應于弱星收斂。這裡就有兩個值得思考的問題：1）**一緻收斂和強收斂的差別是什麼？**2）這裡的強收斂為什麼對應上面的弱收斂？

先看第2個問題：講 Hahn-Banach 定理應用的時候我們講到了典範映射，如果 X X X 為自反的，那麼任意一個 g 0 ∈ X ′ ′ g_0\in X'' g0​∈X′′ 都唯一的對應于 X X X 中的元素 x 0 x_0 x0​，并且滿足 g 0 ( f ) = f ( x 0 ) , ∀ f ∈ X ′ g_0(f)=f(x_0),\forall f\in X' g0​(f)=f(x0​),∀f∈X′。假設 X X X 是自反的，那麼上面的強收斂定義就可以表述為 ∀ x ∈ X \forall x\in X ∀x∈X，都有 f n ( x ) → f ( x ) f_n(x)\to f(x) fn​(x)→f(x)，注意看！這是不是就是線性泛函弱星收斂的定義！也對應了序列的弱收斂。不過弱星收斂的定義裡面并沒有要求 X X X 是自反的。

那麼再看第1個問題：一緻收斂中要求 ∥ f n − f ∥ → 0 \Vert f_n-f\Vert\to0 ∥fn​−f∥→0，線性算子的範數是針對整個源空間考慮的；而強收斂中對每個 x ∈ X x\in X x∈X，關注 f n ( x ) → f ( x ) f_n(x)\to f(x) fn​(x)→f(x)，也就是說關注的是每一個局部點。是以一緻收斂要強于強收斂。

3. 一般有界線性算子收斂性

實際上一緻收斂、強收斂、弱收斂的概念可以擴充到任意的有界線性算子定義。

設 X , Y X,Y X,Y 為賦範空間， T n ∈ B ( X , Y ) , T : X → Y T_n\in B(X,Y),T:X\to Y Tn​∈B(X,Y),T:X→Y 為線性算子，有三種收斂性：

• { T n } \{T_n\} {Tn​} 一緻收斂到 T T T，若 ∥ T n − T ∥ → 0 \Vert T_n-T\Vert \to 0 ∥Tn​−T∥→0；
• { T n } \{T_n\} {Tn​} 強收斂到 T T T，若 ∀ x ∈ X , T n x → T x \forall x\in X,T_n x\to Tx ∀x∈X,Tn​x→Tx；
• { T n } \{T_n\} {Tn​} 弱收斂到 T T T，若任取 x ∈ X , f ∈ Y ′ x\in X, f\in Y' x∈X,f∈Y′， f ( T n x ) → f ( T x ) f(T_nx)\to f(Tx) f(Tn​x)→f(Tx)。

容易看出來一緻收斂 ⟹ \Longrightarrow ⟹ 強收斂 ⟹ \Longrightarrow ⟹ 弱收斂，但是反向則不成立，可以舉出對應的反例。

例子 4(強收斂 ⇏ \nRightarrow ⇏ 一緻收斂)： X = Y = ℓ 2 X=Y=\ell^2 X=Y=ℓ2， T n : ℓ 2 → ℓ 2 T_n:\ell^2\to\ell^2 Tn​:ℓ2→ℓ2 有

T n : ( x 1 , x 2 , ⋯   ) ↦ ( 0 , ⋯   , 0 , x n + 1 , x n + 2 , ⋯   ) T_n: (x_1,x_2,\cdots) \mapsto (0,\cdots,0,x_{n+1},x_{n+2},\cdots) Tn​:(x1​,x2​,⋯)↦(0,⋯,0,xn+1​,xn+2​,⋯)

容易驗證 T n T_n Tn​ 為有界線性算子， ∥ T n ∥ = 1 \Vert T_n\Vert=1 ∥Tn​∥=1。可以驗證 T n T_n Tn​ 強收斂到 0 0 0 算子，即 T 0 x ≡ 0 T_0x\equiv 0 T0​x≡0。但是 ∥ T n − T 0 ∥ = 1 ↛ 0 \Vert T_n-T_0\Vert=1\nrightarrow 0 ∥Tn​−T0​∥=1↛0，即不滿足一緻收斂。

例子 5(弱收斂 ⇏ \nRightarrow ⇏ 強收斂)： X = Y = ℓ 2 X=Y=\ell^2 X=Y=ℓ2， T n : ℓ 2 → ℓ 2 T_n:\ell^2\to\ell^2 Tn​:ℓ2→ℓ2 有

T n : ( x 1 , x 2 , ⋯   ) ↦ ( 0 1 , ⋯   , 0 n , x 1 , x 2 , ⋯   ) T_n:(x_1,x_2,\cdots)\mapsto(0_1,\cdots,0_n,x_1,x_2,\cdots) Tn​:(x1​,x2​,⋯)↦(01​,⋯,0n​,x1​,x2​,⋯)

可以驗證 T n T_n Tn​ 為有界線性算子，并且 ∥ T n ∥ = 1 \Vert T_n\Vert=1 ∥Tn​∥=1。是否有 T n T_n Tn​ 弱收斂到某個 T T T 呢？考慮任意 f ∈ ( ℓ 2 ) ′ f\in(\ell^2)' f∈(ℓ2)′，都存在唯一的 z ∈ ℓ 2 z\in\ell^2 z∈ℓ2， f ( x ) = ⟨ x , z ⟩ f(x)=\langle x,z\rangle f(x)=⟨x,z⟩，是以 f ( T n x ) = x 1 z n + 1 ‾ + x 2 z n + 2 ‾ + ⋯ f(T_nx)=x_1\overline{z_{n+1}}+x_2\overline{z_{n+2}}+\cdots f(Tn​x)=x1​zn+1​​+x2​zn+2​​+⋯，是以

∣ f ( T n x ) ∣ ≤ ∑ k = 1 ∞ ∣ x k ∣ ⋅ ∣ z n + k ∣ ≤ ∥ x ∥ ( ∑ k = n + 1 ∞ ∣ z k ∣ 2 ) 1 / 2 → 0 |f(T_nx)|\le\sum_{k=1}^\infty |x_k|\cdot|z_{n+k}| \le \Vert x\Vert\left(\sum_{k=n+1}^\infty |z_k|^2\right)^{1/2} \to 0 ∣f(Tn​x)∣≤k=1∑∞​∣xk​∣⋅∣zn+k​∣≤∥x∥(k=n+1∑∞​∣zk​∣2)1/2→0

是以有 f ( T n x ) → 0 f(T_nx) \to 0 f(Tn​x)→0 對任意 f ∈ ( ℓ 2 ) ′ f\in (\ell^2)' f∈(ℓ2)′ 成立，是以 f ( T n x ) → f ( T 0 x ) ≡ f ( 0 ) = 0 f(T_nx)\to f(T_0x)\equiv f(0)=0 f(Tn​x)→f(T0​x)≡f(0)=0。是以 T n T_n Tn​ 弱收斂到 T 0 = 0 T_0=0 T0​=0 算子，但是總有 ∥ T n x ∥ = ∥ x ∥ ↛ 0 \Vert T_nx\Vert=\Vert x\Vert\nrightarrow 0 ∥Tn​x∥=∥x∥↛0，是以 T n x ↛ T 0 x T_nx\nrightarrow T_0x Tn​x↛T0​x，即不滿足強收斂。

命題：對于一般有界線性算子，若 T n T_n Tn​ 一緻收斂到 T T T，則 T T T 也是有界的，這是因為 ∥ T ∥ ≤ ∥ T − T n ∥ + ∥ T n ∥ ≤ ∞ \Vert T\Vert\le \Vert T-T_n\Vert+\Vert T_n\Vert \le \infty ∥T∥≤∥T−Tn​∥+∥Tn​∥≤∞；若隻能得到 T n T_n Tn​ 強收斂到 T T T，那麼 T T T 不一定是有界的。

例子 6(強收斂極限未必有界)： X = Y = { ( x n ) , ∃ N , ∀ n ≥ N , x n = 0 } X=Y=\{(x_n),\exists N,\forall n\ge N, x_n=0 \} X=Y={(xn​),∃N,∀n≥N,xn​=0}，考慮 T n : X → Y T_n:X\to Y Tn​:X→Y 有

T n : ( x 1 , x 2 , ⋯   ) ↦ ( x 1 , 2 x 2 , ⋯   , n x n , x n + 1 , x n + 2 , ⋯   ) T : ( x 1 , x 2 , ⋯   ) ↦ ( x 1 , 2 x 2 , ⋯   ) \begin{aligned} T_n:& (x_1,x_2,\cdots)\mapsto (x_1,2x_2,\cdots,nx_n,x_{n+1},x_{n+2},\cdots) \\ T:& (x_1,x_2,\cdots)\mapsto (x_1,2x_2,\cdots) \end{aligned} Tn​:T:​(x1​,x2​,⋯)↦(x1​,2x2​,⋯,nxn​,xn+1​,xn+2​,⋯)(x1​,x2​,⋯)↦(x1​,2x2​,⋯)​

那麼 ∥ T n ∥ = n \Vert T_n\Vert=n ∥Tn​∥=n，取可以驗證對于 ∀ x ∈ X \forall x\in X ∀x∈X， T n x → T x T_nx\to Tx Tn​x→Tx，即 T n T_n Tn​ 強收斂到 T T T，但是 T T T 不是有界算子。

那麼什麼情況下可以保證強/弱收斂極限也是有界算子呢？

定理：設 X X X 為 Banach 空間， Y Y Y 為賦範空間， T n ∈ B ( X , Y ) , T : X → Y T_n\in B(X,Y),T:X\to Y Tn​∈B(X,Y),T:X→Y 為線性算子。設 T n T_n Tn​ 弱收斂到 T T T，則 sup ⁡ n ≥ 1 ∥ T n ∥ < ∞ , T ∈ B ( X , Y ) \sup_{n\ge1}\Vert T_n\Vert < \infty, T\in B(X,Y) supn≥1​∥Tn​∥<∞,T∈B(X,Y) 并且 ∥ T ∥ ≤ sup ⁡ n ≥ 1 ∥ T n ∥ < ∞ . \Vert T\Vert \le \sup_{n\ge1}\Vert T_n\Vert <\infty. ∥T∥≤supn≥1​∥Tn​∥<∞.

證明：由于 T n T_n Tn​ 弱收斂到 T T T，即 ∀ x ∈ X , f ∈ Y ′ \forall x\in X,f\in Y' ∀x∈X,f∈Y′ 都有 f ( T n x ) → f ( T x ) f(T_nx)\to f(Tx) f(Tn​x)→f(Tx)，是以有 T n x ⟶ w T x T_nx \stackrel{w}{\longrightarrow} Tx Tn​x⟶w​Tx。那麼根據序列弱收斂的性質，存在 c x c_x cx​ 滿足 sup ⁡ n ∥ T n x ∥ ≤ c x \sup_n \Vert T_nx\Vert \le c_x supn​∥Tn​x∥≤cx​，再由一緻有界性原理，有 sup ⁡ n ∥ T n ∥ < ∞ \sup_n \Vert T_n\Vert < \infty supn​∥Tn​∥<∞。

然後考慮 T T T， ∀ x ∈ X \forall x\in X ∀x∈X，由 Hahn-Banach 定理的推論，都存在 f ∈ Y ′ , ∥ f ∥ = 1 f\in Y',\Vert f\Vert=1 f∈Y′,∥f∥=1 滿足

∥ T x ∥ = ∣ f ( T x ) ∣ = lim ⁡ n → ∞ ∣ f ( T n x ) ∣ ≤ lim ⁡ n → ∞ ∥ T n x ∥ \Vert Tx\Vert=|f(Tx)| = \lim_{n\to\infty} |f(T_nx)| \le \lim_{n\to\infty}\Vert T_nx\Vert ∥Tx∥=∣f(Tx)∣=n→∞lim​∣f(Tn​x)∣≤n→∞lim​∥Tn​x∥

是以 ∥ T ∥ ≤ sup ⁡ n ∥ T n ∥ . \Vert T\Vert\le \sup_n\Vert T_n\Vert. ∥T∥≤supn​∥Tn​∥. 證畢。

定理：設 X X X 為 Banach 空間， Y Y Y 為賦範空間， T n , T ∈ B ( X , Y ) T_n,T\in B(X,Y) Tn​,T∈B(X,Y)，則 T n T_n Tn​ 強收斂到 T T T 當且僅當：

1. sup ⁡ n ∥ T n ∥ < ∞ \sup_n \Vert T_n\Vert < \infty supn​∥Tn​∥<∞；
2. 存在 M ⊂ X , span M ‾ = X M\subset X,\overline{\text{span}M}=X M⊂X,spanM​=X，對 ∀ x ∈ M , T n ( x ) → T ( x ) . \forall x\in M, T_n(x)\to T(x). ∀x∈M,Tn​(x)→T(x).

NOTE：這跟線性泛函弱星收斂的等價條件是完全一樣的，證明省略。

4. 應用舉例

例子 7(求積分的數值方法)：考慮實值函數 x ∈ C [ a , b ] x\in C[a,b] x∈C[a,b]，并賦予無窮範數，那麼 ( C [ a , b ] , ∥ ⋅ ∥ ) (C[a,b],\Vert\cdot\Vert) (C[a,b],∥⋅∥) 為 Banach 空間，求 ∫ a b x ( t ) d t . \int_a^b x(t)dt. ∫ab​x(t)dt.

既然是在本節舉的這個例子，那就要用到算子收斂性。先定義有界線性算子 f ( x ) = ∫ a b x ( t ) d t f(x)=\int_a^b x(t)dt f(x)=∫ab​x(t)dt， ∥ f ∥ = b − a \Vert f\Vert=b-a ∥f∥=b−a。我們現在的目标就是找一列有界線性泛函 f n f_n fn​ 弱收斂到 f f f。回憶我們在學微積分的時候，往往是用分段的矩形面積求和來逼近積分。在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上取 n + 1 n+1 n+1 個結點 a = t n , 0 < t n , 1 < ⋯ < t n , n = b a=t_{n,0}<t_{n,1}<\cdots<t_{n,n}=b a=tn,0​<tn,1​<⋯<tn,n​=b，再取 n + 1 n+1 n+1 個實數 a n , 0 , ⋯   , a n , n a_{n,0},\cdots,a_{n,n} an,0​,⋯,an,n​，令

f n ( x ) = ∑ k = 0 n a n , k x ( t n , k ) f_n(x) = \sum_{k=0}^n a_{n,k} x(t_{n,k}) fn​(x)=k=0∑n​an,k​x(tn,k​)

f n f_n fn​ 是 C [ a , b ] C[a,b] C[a,b] 上的線性泛函，并且 ∥ f n ∥ ≤ ∑ k = 0 n ∣ a n , k ∣ \Vert f_n\Vert \le \sum_{k=0}^n|a_{n,k}| ∥fn​∥≤∑k=0n​∣an,k​∣，另外我們總能夠造出一個 x ∈ C [ a , b ] x\in C[a,b] x∈C[a,b] 滿足 x ( t n , k ) = sgn ( a n , k ) x(t_{n,k})=\text{sgn}(a_{n,k}) x(tn,k​)=sgn(an,k​) 并且 ∥ x ∥ ∞ = 1 \Vert x\Vert_\infty=1 ∥x∥∞​=1，此時就有 f ( x ) = ∑ k = 0 n ∣ a n , k ∣ f(x)=\sum_{k=0}^n|a_{n,k}| f(x)=∑k=0n​∣an,k​∣，于是可以得到 ∥ f n ∥ = ∑ k = 0 n ∣ a n , k ∣ \Vert f_n\Vert = \sum_{k=0}^n|a_{n,k}| ∥fn​∥=∑k=0n​∣an,k​∣。現在的問題就是我們能否找到合适的系數 a n , k a_{n,k} an,k​ 使得 f n ⟶ w f f_n\stackrel{w}{\longrightarrow} f fn​⟶w​f ？

這裡我們提出一個額外的要求，就是對于次數小于 n n n 的多項式 p p p，需要 f n ( p ) f_n(p) fn​(p) 能獲得精确積分結果，即 f n ( p ) = ∫ a b p ( t ) d t f_n(p)=\int_a^b p(t)dt fn​(p)=∫ab​p(t)dt。由于 { 1 , t , … , t n } \{1,t,\ldots,t^n\} {1,t,…,tn} 構成次數小于 n n n 的多項式空間的 Hamel 基，是以隻需要驗證對每個基有 f n ( e k ) = f ( e k ) f_n(e_k)= f(e_k) fn​(ek​)=f(ek​) 即可。這就要求

{ a n , 0 + a n , 1 + ⋯ + a n , n = b − a a n , 0 t n , 0 + a n , 1 t n , 1 + ⋯ + a n , n t n , n = b 2 − a 2 2 … a n , 0 t n , 0 n + a n , 1 t n , 1 n + ⋯ + a n , n t n , n n = b n + 1 − a n + 1 n + 1 \begin{cases} \begin{matrix} a_{n,0} & + & a_{n,1} & + & \cdots & + & a_{n,n} & = & b-a \\ a_{n,0}t_{n,0} & + & a_{n,1}t_{n,1} & + & \cdots & + & a_{n,n}t_{n,n} & = & \frac{b^2-a^2}{2} \\ & & & & \ldots & \\ a_{n,0}t_{n,0}^n & + & a_{n,1}t_{n,1}^n & + & \cdots & + & a_{n,n}t_{n,n}^n & = & \frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{n+1} \end{matrix} \end{cases} ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​an,0​an,0​tn,0​an,0​tn,0n​​+++​an,1​an,1​tn,1​an,1​tn,1n​​+++​⋯⋯…⋯​+++​an,n​an,n​tn,n​an,n​tn,nn​​===​b−a2b2−a2​n+1bn+1−an+1​​​

上式左側可以用 Vandermonde 矩陣表示，是以存在唯一解 a n , k , k = 1 , . . . , n a_{n,k},k=1,...,n an,k​,k=1,...,n。

接下來對于任意的 x ∈ C [ a , b ] x\in C[a,b] x∈C[a,b]，能否找到 a n , k a_{n,k} an,k​ 滿足的條件使得 f n ( x ) → f ( x ) f_n(x)\to f(x) fn​(x)→f(x) 呢？根據 Stone-Weierstrass 定理，多項式的集合在 C [ a , b ] C[a,b] C[a,b] 中是稠密的，是以對于任意次數 N N N 的多項式 p p p 總有 f n ( p ) → f ( p ) f_n(p)\to f(p) fn​(p)→f(p)。那麼再應用前面的定理（即隻需要判斷完全集 M ⊂ X M\subset X M⊂X 中的元素是否滿足條件即可），可以有如下結論

定理(G.Polya)：設數值積分 f n f_n fn​ 滿足前面對于有限次多項式的要求（即 a n , k a_{n,k} an,k​ 為 Vandermonde 矩陣方程的解）則任取 x ∈ C [ a , b ] , f n ( x ) → f ( x ) x\in C[a,b],f_n(x)\to f(x) x∈C[a,b],fn​(x)→f(x) 當且僅當存在常數 C ≥ 0 C\ge0 C≥0，使得任取 n ≥ 1 n\ge1 n≥1，有 ∑ k = 1 n a n , k ≤ C . \sum_{k=1}^na_{n,k}\le C. ∑k=1n​an,k​≤C.

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泛函分析專欄

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泛函分析筆記 6：一緻有界性原理

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