泛函分析笔记7：弱收敛与弱星收敛

一致有界性原理的一个应用就是序列和算子的收敛性分析。

文章目录

• • 1. 序列收敛性
  • 2. 线性泛函收敛性
  • 3. 一般有界线性算子收敛性
  • 4. 应用举例

1. 序列收敛性

( X , ∥ ⋅ ∥ ) (X,\Vert\cdot\Vert) (X,∥⋅∥)，有 x n , x ∈ X x_n,x\in X xn​,x∈X，称 x n x_n xn​ 强收敛到 x x x，若 ∥ x n − x ∥ → 0 \Vert x_n-x\Vert \to 0 ∥xn​−x∥→0；称 x n x_n xn​ 弱收敛到 x x x 若 ∀ f ∈ X ′ \forall f\in X' ∀f∈X′ 都有 f ( x n ) → f ( x ) f(x_n)\to f(x) f(xn​)→f(x)，记为 x n ⟶ w x . x_n \stackrel{w}{\longrightarrow} x. xn​⟶w​x.

关于弱收敛有以下几条性质：

• 若 x n ⟶ w x , x n ⟶ w y x_n \stackrel{w}{\longrightarrow} x, x_n \stackrel{w}{\longrightarrow} y xn​⟶w​x,xn​⟶w​y，则 x = y x=y x=y；
• 若 x n ⟶ w x x_n \stackrel{w}{\longrightarrow} x xn​⟶w​x，则存在 c ≥ 0 , ∥ x n ∥ ≤ c . c\ge0, \Vert x_n\Vert \le c. c≥0,∥xn​∥≤c.

证明：仅证第二条。这个性质说明 x n x_n xn​ 有界，因此容易想到需要用一致有界性原理证明，但是该原理说明的是算子的一致有界，这里是元素 x n x_n xn​ 有界，因此又可以想到上一篇讲到的典范映射 J : X → X ′ ′ J:X\to X'' J:X→X′′ 从元素映射到算子。因此这里考虑 X ′ X' X′ 上的线性泛函 g n = J ( x n ) : X ′ → R g_n= J(x_n):X'\to \mathbb{R} gn​=J(xn​):X′→R，有 g n ( f ) = f ( x n ) , ∀ f ∈ X ′ . g_n(f)=f(x_n),\forall f\in X'. gn​(f)=f(xn​),∀f∈X′. 于是有 f ( x n ) → f ( x ) f(x_n)\to f(x) f(xn​)→f(x)，因而固定任一 f f f，都有 sup ⁡ n g n ( f ) < ∞ \sup_n g_n(f) < \infty supn​gn​(f)<∞，同时由于 X ′ X' X′ 总为 Banach 空间，利用一致有界性原理有 sup ⁡ n ∥ g n ∥ = sup ⁡ n ∥ x n ∥ < ∞ \sup_n \Vert g_n\Vert =\sup_n \Vert x_n\Vert < \infty supn​∥gn​∥=supn​∥xn​∥<∞。证毕。

定理： ( X , ∥ ⋅ ∥ ) (X,\Vert\cdot\Vert) (X,∥⋅∥)，有 x n , x ∈ X x_n,x\in X xn​,x∈X，则 x n ⟶ w x x_n \stackrel{w}{\longrightarrow} x xn​⟶w​x 当且仅当：

1. 存在 c ≥ 0 , ∥ x n ∥ ≤ c c\ge0,\Vert x_n\Vert\le c c≥0,∥xn​∥≤c；
2. 并且存在 M ⊂ X ′ , span M ‾ = X ′ M\subset X',\overline{\text{span}M}=X' M⊂X′,spanM​=X′，对 ∀ f ∈ M , f ( x n ) → f ( x ) . \forall f\in M, f(x_n)\to f(x). ∀f∈M,f(xn​)→f(x).（此时 M M M 称为完全集）

NOTE：该定理简化了弱收敛的判断条件，只需要在 X ′ X' X′ 的一个子集上判断函数值是否收敛。

证明： " ⟹ " "\Longrightarrow" "⟹" 易证；

" ⟸ " "\Longleftarrow" "⟸"，首先考虑 ∀ f ∈ span M \forall f\in \text{span}M ∀f∈spanM，容易得到 f ( x n ) → f ( x ) f(x_n)\to f(x) f(xn​)→f(x)。然后对 ∀ g ∈ X ′ \forall g\in X' ∀g∈X′，那么存在 f m ∈ span M f_m\in\text{span}M fm​∈spanM 使得 ∥ f m − g ∥ ≤ 1 / m \Vert f_m-g\Vert \le 1/m ∥fm​−g∥≤1/m，因此

KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ |g(x_n)-g(x)|&…

证毕。

例子 1：考虑 X = ℓ p ( 1 < p < ∞ ) X=\ell^p(1<p<\infty) X=ℓp(1<p<∞)，有 ( ℓ p ) ′ = ℓ q , 1 / p + 1 / q = 1. (\ell^p)'=\ell^q, 1/p+1/q=1. (ℓp)′=ℓq,1/p+1/q=1. 考虑线性泛函 f y ( x ) = ∑ i y i x i , y ∈ ℓ q f_y(x)=\sum_i y_ix_i,y\in \ell^q fy​(x)=∑i​yi​xi​,y∈ℓq，有 ∥ f y ∥ = ∥ y ∥ q \Vert f_y\Vert=\Vert y\Vert_q ∥fy​∥=∥y∥q​。我们考虑 X ′ X' X′ 的子空间 M = { e n , n ≥ 1 } M=\{e_n,n\ge1\} M={en​,n≥1}，其中 e n = ( . . . , 0 , 1 , 0 , . . . ) e_n=(...,0,1,0,...) en​=(...,0,1,0,...) 表示只有第 n n n 个分量为 1，其余为 0。那么 span M ‾ = X ′ \overline{\text{span}M}=X' spanM​=X′，因此要想验证 x n x_n xn​ 是否弱收敛到 x x x 就只需要验证：1）其有界性；2）对每个 f e k , k ≥ 1 f_{e_k},k\ge1 fek​​,k≥1 是否有 f e k ( x n ) → f e k ( x ) ( n → ∞ ) . f_{e_k}(x_n)\to f_{e_k}(x)(n\to\infty). fek​​(xn​)→fek​​(x)(n→∞).

强收敛与弱收敛之间有如下关系：

• x n → x ⟹ x n ⟶ w x x_n\to x \Longrightarrow x_n \stackrel{w}{\longrightarrow} x xn​→x⟹xn​⟶w​x(即强收敛可以导出弱收敛)；
• 若 dim X < ∞ \text{dim}X<\infty dimX<∞，则 x n ⟶ w x ⟹ x n → x x_n \stackrel{w}{\longrightarrow} x\Longrightarrow x_n\to x xn​⟶w​x⟹xn​→x(有限维赋范空间中，强收敛与弱收敛等价)；

证明：仅证第二条。设 dim X = n < ∞ \text{dim}X=n<\infty dimX=n<∞，有限维赋范空间中我们可以找到一组基， x k = λ k , 1 e 1 + ⋯ + λ k , n e n x_k=\lambda_{k,1}e_1+\cdots+\lambda_{k,n}e_n xk​=λk,1​e1​+⋯+λk,n​en​， x = λ 1 e 1 + ⋯ + λ n e n x=\lambda_1 e_1+\cdots+\lambda_n e_n x=λ1​e1​+⋯+λn​en​。那么

λ k , 1 f ( e 1 ) + ⋯ + λ k , n f ( e n ) → λ 1 f ( e 1 ) + ⋯ + λ n f ( e n ) , ∀ f ∈ X ′ \lambda_{k,1}f(e_1)+\cdots+\lambda_{k,n}f(e_n) \to \lambda_{1}f(e_1)+\cdots+\lambda_{n}f(e_n), \quad\forall f\in X' λk,1​f(e1​)+⋯+λk,n​f(en​)→λ1​f(e1​)+⋯+λn​f(en​),∀f∈X′

由于 f ∈ X ′ f\in X' f∈X′ 任取，那么我们可以取 f i ( y ) = μ i f_i(y)=\mu_i fi​(y)=μi​，其中 y = μ 1 e 1 + ⋯ + μ n e n y=\mu_1 e_1+\cdots+\mu_n e_n y=μ1​e1​+⋯+μn​en​，即 f i f_i fi​ 取出来第 i i i 个坐标系数。由此可以得到 λ k , i → λ i ( k → ∞ ) \lambda_{k,i}\to\lambda_i(k\to\infty) λk,i​→λi​(k→∞)，然后就容易得到 x n → x . x_n\to x. xn​→x. 证毕。

例子 2：有些无穷维空间中也可以得到 x n ⟶ w x    ⟺    x n → x x_n \stackrel{w}{\longrightarrow} x\iff x_n\to x xn​⟶w​x⟺xn​→x，例如 ℓ 1 . \ell^1. ℓ1.

例子 3：无穷维 Hilbert 空间（ ℓ 2 \ell^2 ℓ2，注意只有 2 − 2- 2−范数才能定义出对应的内积），考虑 { e 1 , e 2 , … } \{e_1,e_2,\ldots\} {e1​,e2​,…} 为 H H H 的标准正交集，那么有 e n ⟶ w 0 e_n \stackrel{w}{\longrightarrow} 0 en​⟶w​0 但是 e n ↛ 0 e_n \nrightarrow 0 en​↛0。考虑 ∀ f ∈ H ′ \forall f\in H' ∀f∈H′，存在唯一的 z 0 ∈ H , f ( x ) = ⟨ x , z 0 ⟩ z_0\in H, f(x)=\langle x,z_0\rangle z0​∈H,f(x)=⟨x,z0​⟩，由Bessel方程 ∑ n ∣ ⟨ e n , z 0 ⟩ ∣ 2 ≤ ∥ z 0 ∥ 2 \sum_n|\langle e_n,z_0\rangle|^2\le \Vert z_0\Vert^2 ∑n​∣⟨en​,z0​⟩∣2≤∥z0​∥2，因此 f ( e n ) → 0 ( n → ∞ ) , ∀ f ∈ H ′ f(e_n)\to 0(n\to \infty),\forall f\in H' f(en​)→0(n→∞),∀f∈H′，但另一方面 ∥ e n ∥ = 1 ↛ 0 \Vert e_n\Vert=1\nrightarrow0 ∥en​∥=1↛0。

2. 线性泛函收敛性

对于算子的收敛性，如线性泛函 f n ∈ X ′ f_n\in X' fn​∈X′ 或者有界线性算子 T ∈ B ( X , Y ) T\in B(X,Y) T∈B(X,Y)，收敛性的定义跟上面序列的收敛性是相似的，但是又略有不同。下面就先给出线性泛函收敛性的分析。

同样考虑赋范空间 X X X， f , f n ∈ X ′ f,f_n\in X' f,fn​∈X′，称 f n f_n fn​ 弱星收敛到 f f f，若任取 x ∈ X x\in X x∈X 都有 f n ( x ) → f ( x ) f_n(x)\to f(x) fn​(x)→f(x)，记为 f n ⟶ w ⋆ f . f_n \stackrel{w\star}{\longrightarrow} f. fn​⟶w⋆​f.

NOTE：实际上这里的弱星收敛跟序列的弱收敛是完全对称的，因此他们的性质也是类似的。

• 弱星收敛极限 f f f 唯一；
• { f n } \{f_n\} {fn​} 的任意子列均弱星收敛到 f f f；
• 若 X X X 为 Banach 空间，则 { f n } \{f_n\} {fn​} 在 X ′ X' X′ 中为有界集。

证明：仅证第三条，对于任意 x ∈ X x\in X x∈X，有 f n ( x ) → f ( x ) f_n(x)\to f(x) fn​(x)→f(x)，因此 f n ( x ) f_n(x) fn​(x) 有界，由一致有界性原理， sup ⁡ n ∥ f n ∥ < ∞ . \sup_n \Vert f_n\Vert<\infty. supn​∥fn​∥<∞. 证毕。

定理： X X X 为 Banach 空间， f n , f ∈ X ′ f_n,f\in X' fn​,f∈X′，则 f n ⟶ w ⋆ f f_n \stackrel{w\star}{\longrightarrow} f fn​⟶w⋆​f 当且仅当：

1. 存在 c ≥ 0 , ∥ f n ∥ ≤ c c\ge0,\Vert f_n\Vert\le c c≥0,∥fn​∥≤c；
2. 并且存在 M ⊂ X , span M ‾ = X M\subset X,\overline{\text{span}M}=X M⊂X,spanM​=X，对 ∀ x ∈ M , f n ( x ) → f ( x ) . \forall x\in M, f_n(x)\to f(x). ∀x∈M,fn​(x)→f(x).

NOTE：该性质与序列弱收敛的性质完全对称，证明省略。

NOTE：对于 X ′ X' X′ 中的线性算子 f f f，也有范数的定义，因此我们也可以按照序列的收敛性来定义算子的收敛性。这个时候就用 X ′ X' X′ 代替上面的 X X X，用 X ′ ′ X'' X′′ 代替上面的 X ′ X' X′。我们可以得到什么样的强收敛和弱收敛定义呢？（下面并不是标准的数学定义，只是我为了引出之后的内容做的解释）

对于 f , f n ∈ X ′ f,f_n\in X' f,fn​∈X′，若满足 ∥ f n − f ∥ → 0 \Vert f_n-f\Vert\to 0 ∥fn​−f∥→0，则称 f n f_n fn​ 一致收敛到 f f f；若对 ∀ g ∈ X ′ ′ \forall g\in X'' ∀g∈X′′，都有 g ( f n ) → g ( f ) g(f_n)\to g(f) g(fn​)→g(f)，那么称 f n f_n fn​ 强收敛到 f f f；弱收敛的定义暂且不管。

注意从这个定义的字面意思来看，这里的一致收敛对应于上面序列的强收敛；这里的强收敛对应上面序列的弱收敛，它实际上也就对应于弱星收敛。这里就有两个值得思考的问题：1）**一致收敛和强收敛的区别是什么？**2）这里的强收敛为什么对应上面的弱收敛？

先看第2个问题：讲 Hahn-Banach 定理应用的时候我们讲到了典范映射，如果 X X X 为自反的，那么任意一个 g 0 ∈ X ′ ′ g_0\in X'' g0​∈X′′ 都唯一的对应于 X X X 中的元素 x 0 x_0 x0​，并且满足 g 0 ( f ) = f ( x 0 ) , ∀ f ∈ X ′ g_0(f)=f(x_0),\forall f\in X' g0​(f)=f(x0​),∀f∈X′。假设 X X X 是自反的，那么上面的强收敛定义就可以表述为 ∀ x ∈ X \forall x\in X ∀x∈X，都有 f n ( x ) → f ( x ) f_n(x)\to f(x) fn​(x)→f(x)，注意看！这是不是就是线性泛函弱星收敛的定义！也对应了序列的弱收敛。不过弱星收敛的定义里面并没有要求 X X X 是自反的。

那么再看第1个问题：一致收敛中要求 ∥ f n − f ∥ → 0 \Vert f_n-f\Vert\to0 ∥fn​−f∥→0，线性算子的范数是针对整个源空间考虑的；而强收敛中对每个 x ∈ X x\in X x∈X，关注 f n ( x ) → f ( x ) f_n(x)\to f(x) fn​(x)→f(x)，也就是说关注的是每一个局部点。因此一致收敛要强于强收敛。

3. 一般有界线性算子收敛性

实际上一致收敛、强收敛、弱收敛的概念可以扩展到任意的有界线性算子定义。

设 X , Y X,Y X,Y 为赋范空间， T n ∈ B ( X , Y ) , T : X → Y T_n\in B(X,Y),T:X\to Y Tn​∈B(X,Y),T:X→Y 为线性算子，有三种收敛性：

• { T n } \{T_n\} {Tn​} 一致收敛到 T T T，若 ∥ T n − T ∥ → 0 \Vert T_n-T\Vert \to 0 ∥Tn​−T∥→0；
• { T n } \{T_n\} {Tn​} 强收敛到 T T T，若 ∀ x ∈ X , T n x → T x \forall x\in X,T_n x\to Tx ∀x∈X,Tn​x→Tx；
• { T n } \{T_n\} {Tn​} 弱收敛到 T T T，若任取 x ∈ X , f ∈ Y ′ x\in X, f\in Y' x∈X,f∈Y′， f ( T n x ) → f ( T x ) f(T_nx)\to f(Tx) f(Tn​x)→f(Tx)。

容易看出来一致收敛 ⟹ \Longrightarrow ⟹ 强收敛 ⟹ \Longrightarrow ⟹ 弱收敛，但是反向则不成立，可以举出对应的反例。

例子 4(强收敛 ⇏ \nRightarrow ⇏ 一致收敛)： X = Y = ℓ 2 X=Y=\ell^2 X=Y=ℓ2， T n : ℓ 2 → ℓ 2 T_n:\ell^2\to\ell^2 Tn​:ℓ2→ℓ2 有

T n : ( x 1 , x 2 , ⋯   ) ↦ ( 0 , ⋯   , 0 , x n + 1 , x n + 2 , ⋯   ) T_n: (x_1,x_2,\cdots) \mapsto (0,\cdots,0,x_{n+1},x_{n+2},\cdots) Tn​:(x1​,x2​,⋯)↦(0,⋯,0,xn+1​,xn+2​,⋯)

容易验证 T n T_n Tn​ 为有界线性算子， ∥ T n ∥ = 1 \Vert T_n\Vert=1 ∥Tn​∥=1。可以验证 T n T_n Tn​ 强收敛到 0 0 0 算子，即 T 0 x ≡ 0 T_0x\equiv 0 T0​x≡0。但是 ∥ T n − T 0 ∥ = 1 ↛ 0 \Vert T_n-T_0\Vert=1\nrightarrow 0 ∥Tn​−T0​∥=1↛0，即不满足一致收敛。

例子 5(弱收敛 ⇏ \nRightarrow ⇏ 强收敛)： X = Y = ℓ 2 X=Y=\ell^2 X=Y=ℓ2， T n : ℓ 2 → ℓ 2 T_n:\ell^2\to\ell^2 Tn​:ℓ2→ℓ2 有

T n : ( x 1 , x 2 , ⋯   ) ↦ ( 0 1 , ⋯   , 0 n , x 1 , x 2 , ⋯   ) T_n:(x_1,x_2,\cdots)\mapsto(0_1,\cdots,0_n,x_1,x_2,\cdots) Tn​:(x1​,x2​,⋯)↦(01​,⋯,0n​,x1​,x2​,⋯)

可以验证 T n T_n Tn​ 为有界线性算子，并且 ∥ T n ∥ = 1 \Vert T_n\Vert=1 ∥Tn​∥=1。是否有 T n T_n Tn​ 弱收敛到某个 T T T 呢？考虑任意 f ∈ ( ℓ 2 ) ′ f\in(\ell^2)' f∈(ℓ2)′，都存在唯一的 z ∈ ℓ 2 z\in\ell^2 z∈ℓ2， f ( x ) = ⟨ x , z ⟩ f(x)=\langle x,z\rangle f(x)=⟨x,z⟩，所以 f ( T n x ) = x 1 z n + 1 ‾ + x 2 z n + 2 ‾ + ⋯ f(T_nx)=x_1\overline{z_{n+1}}+x_2\overline{z_{n+2}}+\cdots f(Tn​x)=x1​zn+1​​+x2​zn+2​​+⋯，因此

∣ f ( T n x ) ∣ ≤ ∑ k = 1 ∞ ∣ x k ∣ ⋅ ∣ z n + k ∣ ≤ ∥ x ∥ ( ∑ k = n + 1 ∞ ∣ z k ∣ 2 ) 1 / 2 → 0 |f(T_nx)|\le\sum_{k=1}^\infty |x_k|\cdot|z_{n+k}| \le \Vert x\Vert\left(\sum_{k=n+1}^\infty |z_k|^2\right)^{1/2} \to 0 ∣f(Tn​x)∣≤k=1∑∞​∣xk​∣⋅∣zn+k​∣≤∥x∥(k=n+1∑∞​∣zk​∣2)1/2→0

所以有 f ( T n x ) → 0 f(T_nx) \to 0 f(Tn​x)→0 对任意 f ∈ ( ℓ 2 ) ′ f\in (\ell^2)' f∈(ℓ2)′ 成立，因此 f ( T n x ) → f ( T 0 x ) ≡ f ( 0 ) = 0 f(T_nx)\to f(T_0x)\equiv f(0)=0 f(Tn​x)→f(T0​x)≡f(0)=0。所以 T n T_n Tn​ 弱收敛到 T 0 = 0 T_0=0 T0​=0 算子，但是总有 ∥ T n x ∥ = ∥ x ∥ ↛ 0 \Vert T_nx\Vert=\Vert x\Vert\nrightarrow 0 ∥Tn​x∥=∥x∥↛0，因此 T n x ↛ T 0 x T_nx\nrightarrow T_0x Tn​x↛T0​x，即不满足强收敛。

命题：对于一般有界线性算子，若 T n T_n Tn​ 一致收敛到 T T T，则 T T T 也是有界的，这是因为 ∥ T ∥ ≤ ∥ T − T n ∥ + ∥ T n ∥ ≤ ∞ \Vert T\Vert\le \Vert T-T_n\Vert+\Vert T_n\Vert \le \infty ∥T∥≤∥T−Tn​∥+∥Tn​∥≤∞；若只能得到 T n T_n Tn​ 强收敛到 T T T，那么 T T T 不一定是有界的。

例子 6(强收敛极限未必有界)： X = Y = { ( x n ) , ∃ N , ∀ n ≥ N , x n = 0 } X=Y=\{(x_n),\exists N,\forall n\ge N, x_n=0 \} X=Y={(xn​),∃N,∀n≥N,xn​=0}，考虑 T n : X → Y T_n:X\to Y Tn​:X→Y 有

T n : ( x 1 , x 2 , ⋯   ) ↦ ( x 1 , 2 x 2 , ⋯   , n x n , x n + 1 , x n + 2 , ⋯   ) T : ( x 1 , x 2 , ⋯   ) ↦ ( x 1 , 2 x 2 , ⋯   ) \begin{aligned} T_n:& (x_1,x_2,\cdots)\mapsto (x_1,2x_2,\cdots,nx_n,x_{n+1},x_{n+2},\cdots) \\ T:& (x_1,x_2,\cdots)\mapsto (x_1,2x_2,\cdots) \end{aligned} Tn​:T:​(x1​,x2​,⋯)↦(x1​,2x2​,⋯,nxn​,xn+1​,xn+2​,⋯)(x1​,x2​,⋯)↦(x1​,2x2​,⋯)​

那么 ∥ T n ∥ = n \Vert T_n\Vert=n ∥Tn​∥=n，取可以验证对于 ∀ x ∈ X \forall x\in X ∀x∈X， T n x → T x T_nx\to Tx Tn​x→Tx，即 T n T_n Tn​ 强收敛到 T T T，但是 T T T 不是有界算子。

那么什么情况下可以保证强/弱收敛极限也是有界算子呢？

定理：设 X X X 为 Banach 空间， Y Y Y 为赋范空间， T n ∈ B ( X , Y ) , T : X → Y T_n\in B(X,Y),T:X\to Y Tn​∈B(X,Y),T:X→Y 为线性算子。设 T n T_n Tn​ 弱收敛到 T T T，则 sup ⁡ n ≥ 1 ∥ T n ∥ < ∞ , T ∈ B ( X , Y ) \sup_{n\ge1}\Vert T_n\Vert < \infty, T\in B(X,Y) supn≥1​∥Tn​∥<∞,T∈B(X,Y) 并且 ∥ T ∥ ≤ sup ⁡ n ≥ 1 ∥ T n ∥ < ∞ . \Vert T\Vert \le \sup_{n\ge1}\Vert T_n\Vert <\infty. ∥T∥≤supn≥1​∥Tn​∥<∞.

证明：由于 T n T_n Tn​ 弱收敛到 T T T，即 ∀ x ∈ X , f ∈ Y ′ \forall x\in X,f\in Y' ∀x∈X,f∈Y′ 都有 f ( T n x ) → f ( T x ) f(T_nx)\to f(Tx) f(Tn​x)→f(Tx)，因此有 T n x ⟶ w T x T_nx \stackrel{w}{\longrightarrow} Tx Tn​x⟶w​Tx。那么根据序列弱收敛的性质，存在 c x c_x cx​ 满足 sup ⁡ n ∥ T n x ∥ ≤ c x \sup_n \Vert T_nx\Vert \le c_x supn​∥Tn​x∥≤cx​，再由一致有界性原理，有 sup ⁡ n ∥ T n ∥ < ∞ \sup_n \Vert T_n\Vert < \infty supn​∥Tn​∥<∞。

然后考虑 T T T， ∀ x ∈ X \forall x\in X ∀x∈X，由 Hahn-Banach 定理的推论，都存在 f ∈ Y ′ , ∥ f ∥ = 1 f\in Y',\Vert f\Vert=1 f∈Y′,∥f∥=1 满足

∥ T x ∥ = ∣ f ( T x ) ∣ = lim ⁡ n → ∞ ∣ f ( T n x ) ∣ ≤ lim ⁡ n → ∞ ∥ T n x ∥ \Vert Tx\Vert=|f(Tx)| = \lim_{n\to\infty} |f(T_nx)| \le \lim_{n\to\infty}\Vert T_nx\Vert ∥Tx∥=∣f(Tx)∣=n→∞lim​∣f(Tn​x)∣≤n→∞lim​∥Tn​x∥

因此 ∥ T ∥ ≤ sup ⁡ n ∥ T n ∥ . \Vert T\Vert\le \sup_n\Vert T_n\Vert. ∥T∥≤supn​∥Tn​∥. 证毕。

定理：设 X X X 为 Banach 空间， Y Y Y 为赋范空间， T n , T ∈ B ( X , Y ) T_n,T\in B(X,Y) Tn​,T∈B(X,Y)，则 T n T_n Tn​ 强收敛到 T T T 当且仅当：

1. sup ⁡ n ∥ T n ∥ < ∞ \sup_n \Vert T_n\Vert < \infty supn​∥Tn​∥<∞；
2. 存在 M ⊂ X , span M ‾ = X M\subset X,\overline{\text{span}M}=X M⊂X,spanM​=X，对 ∀ x ∈ M , T n ( x ) → T ( x ) . \forall x\in M, T_n(x)\to T(x). ∀x∈M,Tn​(x)→T(x).

NOTE：这跟线性泛函弱星收敛的等价条件是完全一样的，证明省略。

4. 应用举例

例子 7(求积分的数值方法)：考虑实值函数 x ∈ C [ a , b ] x\in C[a,b] x∈C[a,b]，并赋予无穷范数，那么 ( C [ a , b ] , ∥ ⋅ ∥ ) (C[a,b],\Vert\cdot\Vert) (C[a,b],∥⋅∥) 为 Banach 空间，求 ∫ a b x ( t ) d t . \int_a^b x(t)dt. ∫ab​x(t)dt.

既然是在本节举的这个例子，那就要用到算子收敛性。先定义有界线性算子 f ( x ) = ∫ a b x ( t ) d t f(x)=\int_a^b x(t)dt f(x)=∫ab​x(t)dt， ∥ f ∥ = b − a \Vert f\Vert=b-a ∥f∥=b−a。我们现在的目标就是找一列有界线性泛函 f n f_n fn​ 弱收敛到 f f f。回忆我们在学微积分的时候，往往是用分段的矩形面积求和来逼近积分。在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上取 n + 1 n+1 n+1 个结点 a = t n , 0 < t n , 1 < ⋯ < t n , n = b a=t_{n,0}<t_{n,1}<\cdots<t_{n,n}=b a=tn,0​<tn,1​<⋯<tn,n​=b，再取 n + 1 n+1 n+1 个实数 a n , 0 , ⋯   , a n , n a_{n,0},\cdots,a_{n,n} an,0​,⋯,an,n​，令

f n ( x ) = ∑ k = 0 n a n , k x ( t n , k ) f_n(x) = \sum_{k=0}^n a_{n,k} x(t_{n,k}) fn​(x)=k=0∑n​an,k​x(tn,k​)

f n f_n fn​ 是 C [ a , b ] C[a,b] C[a,b] 上的线性泛函，并且 ∥ f n ∥ ≤ ∑ k = 0 n ∣ a n , k ∣ \Vert f_n\Vert \le \sum_{k=0}^n|a_{n,k}| ∥fn​∥≤∑k=0n​∣an,k​∣，另外我们总能够造出一个 x ∈ C [ a , b ] x\in C[a,b] x∈C[a,b] 满足 x ( t n , k ) = sgn ( a n , k ) x(t_{n,k})=\text{sgn}(a_{n,k}) x(tn,k​)=sgn(an,k​) 并且 ∥ x ∥ ∞ = 1 \Vert x\Vert_\infty=1 ∥x∥∞​=1，此时就有 f ( x ) = ∑ k = 0 n ∣ a n , k ∣ f(x)=\sum_{k=0}^n|a_{n,k}| f(x)=∑k=0n​∣an,k​∣，于是可以得到 ∥ f n ∥ = ∑ k = 0 n ∣ a n , k ∣ \Vert f_n\Vert = \sum_{k=0}^n|a_{n,k}| ∥fn​∥=∑k=0n​∣an,k​∣。现在的问题就是我们能否找到合适的系数 a n , k a_{n,k} an,k​ 使得 f n ⟶ w f f_n\stackrel{w}{\longrightarrow} f fn​⟶w​f ？

这里我们提出一个额外的要求，就是对于次数小于 n n n 的多项式 p p p，需要 f n ( p ) f_n(p) fn​(p) 能获得精确积分结果，即 f n ( p ) = ∫ a b p ( t ) d t f_n(p)=\int_a^b p(t)dt fn​(p)=∫ab​p(t)dt。由于 { 1 , t , … , t n } \{1,t,\ldots,t^n\} {1,t,…,tn} 构成次数小于 n n n 的多项式空间的 Hamel 基，所以只需要验证对每个基有 f n ( e k ) = f ( e k ) f_n(e_k)= f(e_k) fn​(ek​)=f(ek​) 即可。这就要求

{ a n , 0 + a n , 1 + ⋯ + a n , n = b − a a n , 0 t n , 0 + a n , 1 t n , 1 + ⋯ + a n , n t n , n = b 2 − a 2 2 … a n , 0 t n , 0 n + a n , 1 t n , 1 n + ⋯ + a n , n t n , n n = b n + 1 − a n + 1 n + 1 \begin{cases} \begin{matrix} a_{n,0} & + & a_{n,1} & + & \cdots & + & a_{n,n} & = & b-a \\ a_{n,0}t_{n,0} & + & a_{n,1}t_{n,1} & + & \cdots & + & a_{n,n}t_{n,n} & = & \frac{b^2-a^2}{2} \\ & & & & \ldots & \\ a_{n,0}t_{n,0}^n & + & a_{n,1}t_{n,1}^n & + & \cdots & + & a_{n,n}t_{n,n}^n & = & \frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{n+1} \end{matrix} \end{cases} ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​an,0​an,0​tn,0​an,0​tn,0n​​+++​an,1​an,1​tn,1​an,1​tn,1n​​+++​⋯⋯…⋯​+++​an,n​an,n​tn,n​an,n​tn,nn​​===​b−a2b2−a2​n+1bn+1−an+1​​​

上式左侧可以用 Vandermonde 矩阵表示，因此存在唯一解 a n , k , k = 1 , . . . , n a_{n,k},k=1,...,n an,k​,k=1,...,n。

接下来对于任意的 x ∈ C [ a , b ] x\in C[a,b] x∈C[a,b]，能否找到 a n , k a_{n,k} an,k​ 满足的条件使得 f n ( x ) → f ( x ) f_n(x)\to f(x) fn​(x)→f(x) 呢？根据 Stone-Weierstrass 定理，多项式的集合在 C [ a , b ] C[a,b] C[a,b] 中是稠密的，因此对于任意次数 N N N 的多项式 p p p 总有 f n ( p ) → f ( p ) f_n(p)\to f(p) fn​(p)→f(p)。那么再应用前面的定理（即只需要判断完全集 M ⊂ X M\subset X M⊂X 中的元素是否满足条件即可），可以有如下结论

定理(G.Polya)：设数值积分 f n f_n fn​ 满足前面对于有限次多项式的要求（即 a n , k a_{n,k} an,k​ 为 Vandermonde 矩阵方程的解）则任取 x ∈ C [ a , b ] , f n ( x ) → f ( x ) x\in C[a,b],f_n(x)\to f(x) x∈C[a,b],fn​(x)→f(x) 当且仅当存在常数 C ≥ 0 C\ge0 C≥0，使得任取 n ≥ 1 n\ge1 n≥1，有 ∑ k = 1 n a n , k ≤ C . \sum_{k=1}^na_{n,k}\le C. ∑k=1n​an,k​≤C.

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前面的一些博客链接如下

泛函分析专栏

泛函分析笔记 0：绪论

泛函分析笔记 1：度量空间

泛函分析笔记 2：赋范空间

泛函分析笔记 3：内积空间

泛函分析笔记 4：Hahn-Banach定理

泛函分析笔记 5：Hahn-Banach定理的应用

泛函分析笔记 6：一致有界性原理

泛函分析笔记 7：弱收敛与弱星收敛