泛函分析 04.05 有界线性算子 - 闭算子与闭图像定理

§4.5闭算子与闭图像定理 

▶闭线性算子是一类非常重要的线性算子,它有与连续性算子“相近”的性质, 

微分算子就是一类闭线性算子. 

4.5.1闭算子的定义 

定义4.5.1设X,X 1 是赋范空间,T是从X中到X 1 中的 

线性算子,考虑乘积空间 

X×X 1 ={(x,y)|x∈X,y∈X 1 }, 

∙在其上定义范数: 

对于任意的z=(x,y)∈X×X 1 ,令 

∥z∥=∥(x,y)∥=∥x∥+∥y∥ 1 (4.5.1) 

∗容易验证:X×X 1 是赋范空间; 

∙若X和X 1 是Banach空间,且X×X 1 也是Banach空间.令 

G(T)={(x,Tx)∈X×X 1 |x∈D(T)}(4.5.2) 

称G(T)为算子T的图像 

定义4.5.2如果G(T)在乘积赋范空间X×X 1 中是闭的,则称T是闭算子. 

定理4.5.3(闭算子的等价条件)设X,X 1 是赋范空间, 

T是从X到X 1 中的线性算子,则T是闭算子当且仅当 

对∀{x n }⊂D(T),x n →x∈X,及Tx n →y∈X 1 , 

必有x∈D(T),y=Tx. 

证明:充分性. 

∙由定理的条件成立,证明G(T)是闭的,即证明 

∀(x,y)∈G(T) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  ⇒(x,y)∈G(T). 

对于∀(x,y)∈G(T) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  ,存在(x n ,y n )∈G(T),使得 

(x n ,y n )→(x,y)(n→∞) 

因(x n ,y n )在T的图像中,故y n =Tx n ,即 

(x n ,Tx n )∈G(T),(x n ,Tx n )→(x,y)(n→∞). 

根据乘积空间范数的定义有 

∥x n −x∥+∥Tx n −y∥→0(n→∞) 

所以 

∥x n −x∥→0,∥Tx n −y∥→0(n→∞), 

即x n →x,Tx n →y. 

由定理的条件可知 

x∈D(T),y=Tx. 

故(x,y)∈G(T),这就证了T是闭算子. 

必要性. 

∙已知T是闭的,要证明定理中的条件成立. 

{x n }⊂D(T),x n →x,Tx n →y(n→∞), 

则有x∈D(T),y=Tx. 

由条件有: 

∥x n −x∥+∥Tx n −y∥→0(n→∞) 

因而 

(x n ,Tx n )→(x,y). 

因为T是闭的,即G(T)是闭的,故(x,y)∈G(T),即 

x∈D(T),y=Tx. 

注1：可以把闭算子定义为: 

∙如果对于任意的 

{x n }⊂D(T),x n →x∈X,Tx n →y∈X 1 (4.5.3) 

⟹x∈D(T),且Tx=y(4.5.4) 

则称T是闭线性算子. 

注2：由上述定义，显然定义在全空间上的有界(连续)线性算子一定是闭线性算子. 

注3：由式(4.5.3)、(4.5.4)可以看出,闭的线性算子与 

连续线性算子有很多“类似”的性质. 

注4：对于闭线性算子来说,在上述条件下,极限运算可以 

和算子交换顺序. 

注5：在开映射定理中，T连续的条件可改为T是闭算子. 

即: 

∙X,X 1 是Banach空间,T是在上的(TX=X 1 ), 

T是闭算子,则T是开映射. 

4.5.2闭算子的例 

下面的例子说明: 

∙是否重要的无界线性算子——微分算子是闭算子 

例4.5.4X=C[0,1],D(T)=C 1 [0,1]≠X,定义 

T:D(T)→C[0,1],T=ddt ,(4.5.5) 

则T是闭算子. 

分析:要证T是闭算子,即要证明:由 

x n ∈D(T),x n →x,Tx n =ddt x n →y(n→∞), 

可推出x∈D(T)且Tx=y. 

证明:(1)由于 

∫ t 0 x ′ n (s)ds=∫ t 0 dx n (s)=x n (t)−x n (0), 

∴lim n→∞ ∫ t 0 x ′ n (s)ds=lim n→∞ [x n (t)−x n (0)]=x(t)−x(0)(4.5.6) 

(因为x n →x,一致收敛可推出点点收敛). 

(2)因为x ′ n (s)→y(n→∞)是一致收敛(按范数收敛), 

所以积分和极限可以交换顺序,结合(4.5.6)式,有 

x(t)−x(0)=lim n→∞ ∫ t 0 x ′ n (s)ds 

=∫ t 0 lim n→∞ x ′ n (s)ds=∫ t 0 y(s)ds. 

即 

x(t)=x(0)+∫ t 0 y(s)ds, 

于是x ′ (t)=y(t)∈C[0,1].所以x(t)∈C 1 [0,1],且 

ddt x(t)=y(t),即Tx=y, 

因而T是闭算子.但T是无界线性算子. 

▽从数学分析中函数项级数逐项求导的例子可以进一步地 

体会闭算子的性质. 

例4.5.5设函数项级数∑ n=1 ∞ u n (x)满足: 

(1)u n (x)(n=1,2,⋯)在[a,b]上连续可导; 

(2)∑ n=1 ∞ u n (x)在[a,b]上点点收敛到S(x); 

(3)∑ n=1 ∞ u ′ n (x)在[a,b]上一致收敛到σ(x) 

(由此可推出∑ n=1 ∞ u n (x)在[a,b]上一致收敛到S(x)); 

则S(x)=∑ n=1 ∞ u n (x)在[a,b]可导,且 

ddx ∑ n=1 ∞ u n (x)=∑ n=1 ∞ ddx u n (x)(4.5.7) 

即微分运算可以与无限求和运算交换顺序. 

从泛函分析的角度看,上述条件相对于: 

在C[a,b]空间中考虑, 

(1)函数项级数前n项和S n (x)=∑ k=1 n u k (x)在 

C[a,b]中按范数收敛到S(x), 

(2)ddx (S n (x))=∑ k=1 n ddx (u k (x))在C[a,b]中按范数收敛到σ(x), 

由于ddx 是闭算子,于是有σ(x)=ddx S(x),即: 

σ(x)=∑ n=1 ∞ ddx u n (x)=ddx ∑ n=1 ∞ u n (x), 

(4.5.7)式成立,微分可以和级数运算交换顺序. 

注：可与数学分析(广义积分、含参变量积分)中有关求导数 

和极限交换顺序的有关定理相对照, 

∙由于微分运算是闭算子(不是有界线性算子),这些定理中都有 

类似例4.5.5中条件(3)的要求, 

∙而对于积分和极限交换顺序则没有这样的要求. 

例4.5.6设函数项级数∑ n=1 ∞ u n (x)满足: 

(1)u n (x)(n=1,2,⋯)在[a,b]上连续; 

(2)∑ n=1 ∞ u n (x)在[a,b]上一致收敛到S(x); 

则S(x)=∑ n=1 ∞ u n (x)在[a,b]可积,且 

∫ b a S(x)dx=∫ b a ∑ n=1 ∞ u n (x)dx=∑ n=1 ∞ ∫ b a u n (x)dx(4.5.8) 

∙上述例子表明:在一致收敛(即在C[a,b]中按范数收敛) 

的条件下,积分元素可以与无限求和运算交换顺序. 

∙积分算子是有界(连续)线性算子. 

∙微分算子是无界线性算子,但是它是闭算子. 

∙微分与级数运算交换顺序比积分与级数运算交换顺序多了一个条件(3). 

4.5.3闭图像定理 

定理4.5.7(闭图像定理)设T是Banach空间X上到 

Banach空间X 1 中的闭线性算子,则T是有界线性算子. 

注:定理说明: 

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ D(T)=X,X是Banach空间X 1 是Banach空间T闭 ⟹T有界. 

证明:(1)因X，X 1 是Banach空间,故X×X 1 是Banach空间. 

(2)因T是闭的,故G(T)是X×X 1 中的闭子空间, 

从而知G(T)是一个Banach空间. 

(3)定义从G(T)上到X中的线性算子, 

T ˜ :(x,Tx)→x. 

T ˜ 是一对一在上的有界线性算子(∵D(T)=X). 

所以T ˜  −1 存在, 

T ˜  −1 :x→(x,Tx). 

由Banach逆算子定理4.4.5可知T ˜  −1 :x→(x,Tx) 

是有界的.于是 

∥(x,Tx)∥=∥T ˜  −1 (x)∥≤∥T ˜  −1 ∥∥x∥, 

因为∥(x,Tx)∥=∥x∥+∥Tx∥,所以 

∥Tx∥≤(∥T ˜ ∥ −1 −1)∥x∥, 

即T是有界线性算子. 

注1：定理的条件要求D(T)=X,这点十分重要,定义域 

D(T)是否是闭的,关系到T ˜  −1 是否有界. 

注2： 

∙Banach−Steinhaus共鸣定理(一致有界原则); 

∙开映射定理、Banach逆算子定理、闭图像定理; 

∙Hahn−Banach线性泛函的拖延定理(见定理5.1.1), 

∗这几大定理是泛函分析的重要内容. 

∗这些定理在证明上有很高的技巧,应用十分广泛.