泛函分析 04.03 有界线性算子 - 一致有界原则

§4.3一致有界原则 

∙我们把线性算子抽象成为线性算子空间中的元素. 

∙抽象使我们能更清楚地看到线性算子的一些本质特征. 

∙在赋范线性空间(线性算子空间)的框架下,研究线性运算的性质. 

将得到一些很深刻的结论,例如: 

▶一致有界原则(定理4.3.7); 

▶开映射定理(定理4.4.4),逆算子定理(定理4.4.5); 

▶闭图像定理(定理4.5.7). 

∗这三个定理和Hahn−Banach定理5.1.1(线性泛函的 

延拓定理)可以看作是赋范空间中线性算子理论的基石. 

∙这三个定理刻画了Banach空间中线性算子的重要性质. 

▶下面我们首先证明Baire纲定理, 

进而证明一致有界原则,逆算子定理和闭图像定理. 

4.3.1Baire纲定理 

定义4.3.1设(X,d)是距离空间,E⊂X.如果E 

不在X的任何非空开集中稠密,则称E是疏集. 

稠密的定义:A,B是距离空间X中的点集,如果B ¯ ¯ ¯  ⊃A, 

则称B在A中稠密. 

注1：疏集E中没有内点. 

事实上,若x∈E是内点,存在S(x,r)⊂E,则E在S(x,r)中稠密. 

注2：Cantor集是疏集. 

事实上，Cantor集没有内点. 

定义4.3.2若集合E可表示成至多可数可疏集的并,即 

E=⋃ n=1 ∞ E n , 

其中E n 是疏集(n=1,2,⋯), 

则称E是第一纲集. 

不是第一纲集的集合称为第二纲集. 

定理4.3.3(Baire纲定理)完备的距离空间是第二纲集. 

证明:反证法.假如不然,则 

X=⋃ n=1 ∞ E n , 

其中E n (n=1,2,⋯)疏集. 

于是 

(1)对于任何开球S,E 1 在S中不稠(E ¯ ¯ ¯   1 ⊉S), 

即存在S中的点不在E ¯ ¯ ¯   1 中(和E ¯ ¯ ¯   1 有正距离). 

由于S是开球,所以存在一个闭球S ¯ ¯   1 ⊆S,使得 

S ¯ ¯   1 ⋂E 1 =∅且S ¯ ¯   1 的半径小于1. 

(2)同样在S 1 中,E 2 在S 1 中不稠,存在S ¯ ¯   2 ⊆S 1 ,使得 

S ¯ ¯   2 ⋂E 2 =∅且S ¯ ¯   2 的半径小于12 . 

(3)一直做下去,我们得到闭球套 

S ¯ ¯   1 ⊃S ¯ ¯   2 ⋯⊃S ¯ ¯   n ⊃⋯,且S ¯ ¯   n 的半径r n <12 n−1  . 

(4)因X完备,r n →0,由闭球套定理知存在唯一的点 

x 0 ∈X,x 0 ∈⋂ n=1 ∞ S ¯ ¯   n . 

但S ¯ ¯   n ⋂E n =∅,由于∀n,x 0 ∈S ¯ ¯   n ,所以x 0 ∈ ¯ ¯  E n , 

这与X=⋃ k=1 ∞ E n 矛盾. 

所以X不是第一纲集,即X是第二纲集. 

推论4.3.4Banach空间是第二纲集. 

例4.3.5设E是定义在[0,1]上的全体处处不可微的连续函数组成的集合, 

则E是非空的,且E的补集C[0,1]∖E是第一纲集. 

证明参阅张恭庆等《泛函分析讲义》(上册)p92.

注：定理表明: 

∙点点都连续可微的函数在连续函数空间中仅仅是包含在第一纲集中, 

或者是说“相对比较少”. 

∙点点连续、点点不可微的函数是非常之多的,这与我们的直观感觉并不相同. 

∙举出点点连续、点点不可微函数的例子并不是容易的. 

第一个这样的例子是由Weierstrass建立的. 

例4.3.6下面由级数定义的函数给出了一个这样的例子 

f(x)=∑ n=0 ∞ a n cos(b n πx),(4.3.1) 

其中0<a<1,而b是奇数,且ab>1+32 π. 

∙由于此函数项级数各项连续且一致收敛,故和函数连续. 

∙进一步可证明f(x)在每一点均不可微. 

证明可参与汪林编《实分析中的反例》p.88 

利用Baire纲定理还可以得到一些古典分析中相对较难证明的结果. 

4.3.2一致有界原则 

一致有界是十分重要的概念,对有界线性算子,可以得到: 

∙一族点点有界的有界线性算子必定一致有界. 

定理4.3.7(Banach−Steinhaus一致有界原则) 

设{T α |α∈I}是Banach空间X上到赋范空间X 1  

中的有界线性算子族.如果对于∀x∈X,有 

sup α ∥T α x∥<∞(4.3.2) 

则{∥T α ∥|α∈I}是有界集. 

定理成立的前提条件: 

(1)X是Banach空间, 

(2)T是线性的,是定义在X上的. 

注：定理表明,若对任意的x∈X,存在M x >0,使得 

∥T α x∥≤sup α ∥T α x∥=M x <∞(4.3.3) 

则存在一个共同的M,使得 

∥T α ∥≤M,∀α∈I(4.3.4) 

∙简言之,点点有界⇒(范数)一致有界. 

▶定理的逆否命题是: 

命题4.3.8如果{T α |α∈I}是Banach空间X上到 

赋范空间X 1 中的有界线性算子族,sup α ∥T α ∥=∞, 

则存在x∈X,使得 

sup α∈I ∥T α x∥=∞(4.3.5) 

这个命题称为共鸣定理. 

证明思路: 

目标:要证明的是集合{T α |α∈I}中线性算子的 

范数有一个共同的上界(即一致有界). 

∙条件:sup α ∥T α x∥<∞, 

即对∀x∈X,∃M x >0,使得 

∥T α x∥≤sup α ∥T α x∥=Mx<∞(4.3.6) 

∙要证明:存在一个共同的M,使得 

∥T α ∥≤M,∀α∈I(4.3.7) 

即对于∀x∈X,∀α∈I,都有∥T α x∥≤M∥x∥. 

∙步骤: 

(1)首先证明{∥T α ∥|α∈I}在以原点为中心的一个小的闭球上一致有界. 

即存在r>0,使得 

∥T α x∥≤M<∞,∀x∈B(0,r) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  ,∀α∈I. 

(2)根据算子的线性性, 

对∀x∈X,∀α∈I,由∥T α (rx∥x∥ )∥≤M,推出 

∥T α x∥≤Mr −1 ∥x∥, 

即在全空间上一致有界. 

∗下面我们分3步来说明步骤(1). 

我们考虑集合 

M k ={x|∥T α x∥≤k,∀α∈I}(k=1,2,⋯) 

M k ={x∈X|sup α∈I ∥T α x∥≤k} 

=⋂ α∈I {x∈X|∥T α x∥<k}, 

{T α }在集合M k 上一致有界,界是k. 

由条件:对∀x∈X,∃M x >0,使得 

∥T α x∥≤sup α ∥T α x∥=M x <∞, 

即∀x∈X,x必定属于某一个M k ,于是我们有 

X=⋃ k=1 ∞ M k . 

由于X是Banach空间,是第二纲集,所以存在一个M k 0  不是疏集, 

即它在某一个非空开集G中稠密,G⊂M ¯ ¯ ¯ ¯   k 0  . 

▶随之在一个较小的闭球B ¯ ¯ ¯  中稠,B ¯ ¯ ¯  ⊂M ¯ ¯ ¯ ¯   k 0   

注意到范数是连续函数,M ¯ ¯ ¯ ¯   k 0  是闭集,我们有 

B ¯ ¯ ¯  ⊂M ¯ ¯ ¯ ¯   k 0  =M k 0  , 

即在这个闭球中{T α }一致有界,界是k 0 . 

▶把它“平移”成为以原点为中心的闭球,由T的线性性质, 

使之在这个以原点为中心的闭球上一致有界. 

证明(1)证明{∥T α ∥|α∈I}在以原点为中心的一个小的闭球上一致有界. 

(i)对于k∈N + ,令 

M k ={x∈X|sup α∈I ∥T α x∥≤k}=⋂ α∈I {x∈X|∥T α x∥≤k}, 

由条件:对于∀x∈X, 

∥T α x∥≤sup α ∥T α x∥=M x <∞, 

即∀x∈X,x必定属于某一个M k ,于是我们有 

X=⋃ k=1 ∞ M k  

因X是Banach空间,故X是第二纲集. 

因此,必存在k 0 ,使得M k 0  不是疏集. 

即M k 0  在X的某非空开集G中稠密,即G⊂M ¯ ¯ ¯ ¯   k 0  . 

(ii)由于G是开的,对于x 0 ∈G,存在一个闭球 

B ¯ ¯ ¯  ={x∈X|∥x−x 0 ∥≤r}⊂G, 

于是M k 0  在闭球B ¯ ¯ ¯  中稠密, 

B ¯ ¯ ¯  ={x∈X|∥x−x 0 ∥≤r}⊂G⊂M ¯ ¯ ¯ ¯   k 0  . 

注意到∥T α x∥是关于x的连续函数,因此对∀α∈I, 

{x∈X|∥T α x∥≤k} 

是闭集,于是M k =⋂ α∈I {x∈X|∥T α x∥≤k}是闭集. 

所以B ¯ ¯ ¯  ⊂M ¯ ¯ ¯ ¯   k 0  =M k 0  ={x∈X|sup α∈I ∥T α x∥≤k 0 }. 

即:对于∀x∈B ¯ ¯ ¯  ,∀α∈I,都有∥T α x∥≤k 0 , 

这说明{T α }在闭球B ¯ ¯ ¯  上是一致有界的. 

(iii)进一步证明{∥T α ∥|α∈I}在以原点为中心的闭球B ¯ ¯ ¯   0 ={x∈X|∥x∥≤r}上一致有界. 

对于任意的x∈B ¯ ¯ ¯   0 ={x∈X|∥x∥≤r}, 

我们有x+x 0 ∈B ¯ ¯ ¯  ={x∈X|∥x−x 0 ∥≤r},于是 

∥T α x∥≤∥T α (x+x 0 )∥+∥T α x 0 ∥≤2k 0 ,∀α∈I. 

(2)根据算子的线性性,证明{T α }在全空间上一致有界. 

对∀x∈X,因rx∥x∥ ∈B ¯ ¯ ¯   0 ,故∥T α rx∥x∥ ∥≤2k 0 .于是 

∥T α x∥≤2k 0 ∥x∥/r. 

因此 

∥T α ∥≤2r k 0 =M,∀α∈I, 

即sup α ∥T α ∥≤M<∞. 

注1：定理中的条件，X是Banach空间，仅仅用到推出X是第二纲集. 

∙即定理的条件可以减弱为X是第二纲集. 

注2：算子的线性性质在这里很重要,如果没有线性性质, 

结论会在很多程度上减弱(参阅第四章习题30). 

习题30表明F是完备距离空间X上的实连续函数族, 

且对∀x∈X,存在M x >0,使得对于每一个f∈F, 

|f(x)|≤M x , 

则存在开集U及M>0,使得对∀x∈U,f∈F有 

|f(x)|≤M, 

即在U上,f(x)一致有界. 

命题4.3.9X是Banach空间,若f α (α∈I)是定义在X上的有界线性泛函, 

如果对于每一个x∈X, 

sup α∈I |f α (x)|<∞, 

则{∥f α ∥|α∈I}是有界集. 

命题4.3.10当I是一个可数集时,X是一个Banach 

空间,{f n }是定义在X上的有界线性泛函,如果对于 

∀x∈X,有 

sup n |f n (x)|<∞, 

则 

sup n ∥f n ∥<∞. 

命题4.3.11当I是一个可数集时, 

若X是一个Banach空间,{f n }是定义在X上的有界线性泛函,sup n ∥f n ∥=∞. 

则存在x 0 ∈X,使得 

sup n |f n (x 0 )|=∞. 

∙这是一致有界原则的逆否命题. 

注：一致有界原则也可以由本章第四节关于范数等价的定理4.4.6推出. 

4.3.3强收敛意义下的完备性 

从定理4.2.5我们知道,如果X是赋范空间,X 1 是Banach空间, 

则B(X,X 1 )是Banach空间. 

即空间中的任何Cauchy列都收敛(按算子的范数). 

下面我们考虑在强收敛意义下的完备性. 

定理4.3.12设X,X 1 是Banach空间,则B(X,X 1 )在强收敛的意义下完备. 

注:完备的含义: 

(1)T n ∈B(X,X 1 ), 

(2)若∀x∈X,{T n x}是X 1 中的Cauchy列, 

则存在T∈B(X,X 1 ),T n → 强 T(n→∞), 

即∀x∈X,T n x→Tx(n→∞). 

证明:设T n ∈B(X,X 1 ),且∀x∈X,{T n x}是X 1 中 

的Cauchy列. 

(i)构造(定义)一个线性算子T. 

因X 1 完备,{T n x}是Cauchy列,故存在z∈X,使 

得T n x→z,定义Tx=z(且T n x→z=Tx(n→∞)). 

(ii)显然T使线性的.要证明T∈B(X,X 1 ). 

由于收敛的点列有界,对于∀x∈X,我们有 

sup n ∥T n x∥<∞. 

因X完备,由一致有界原则,{∥T n ∥}有界,所以 

∥Tx∥=∥lim n→∞ T n x∥=lim n→∞ ∥T n x∥≤lim − − −   n→∞ ∥T n ∥∥x∥, 

于是T是有界线性算子,且∥T∥≤lim − − −   n→∞ ∥T n ∥. 

即:T∈B(X,X 1 ),T n → 强 T(n→∞). 

注1：注意定理的前提条件: 

X是Banach空间,X 1 也是Banach空间. 

注2：由定理可知,当X,X 1 是Banach空间时,由 

(1)T n ∈B(X,X 1 ), 

(2)∀x∈X,{T n x}是X 1 中的Cauchy列, 

则{∥T n ∥}一致有界的条件可以从X是Banach空间和上面的条件(2)中推出. 

注3：在上述条件中,条件(1)加强,条件(2)减弱, 

X只要求是赋范空间,我们也由相同的结论. 

定理4.3.13设{T n }是赋范空间X到Banach空间 

X 1 中的有界线性算子列,如果 

(i){∥T n ∥}有界; 

(ii)G是X的稠子集,且对∀y∈G,{T n y}收敛; 

则存在有界线性算子T(T∈B(X,X 1 )),使得 

T n → 强 T(n→∞),且∥T∥≤lim − − −   n→∞ ∥T n ∥(4.3.8) 

证明:(1)构造这样的线性算子T(给出Tx=?的定义). 

(i)由于G在X中稠密,对∀x∈X,存在y∈G,使得 

∥x−y∥<ε. 

(ii)由已知：对任意的y∈G,{T n y}收敛,因此{T n y} 

是一个Cauchy列. 

(iii)结合已知{∥T n ∥}有界,得到: 

∥T n x−T m x∥≤∥T n x−T n y∥+∥T n y−T m y∥+∥T m y−T m x∥ 

≤∥T n ∥∥x−y∥+∥T n y−T m y∥+∥T m ∥∥x−y∥, 

则∥T n x−T m x∥→0(当m,n→∞). 

即{T n x}是一个Cauchy列. 

由于X 1 是Banach空间.于是存在z,使得 

∥T n x−z∥→0(n→∞) 

令Tx=z,即Tx=z=lim n→∞ T n x 

显然T是线性的. 

(2)证明算子T有界. 

∥Tx∥=∥lim n→∞ T n x∥=lim n→∞ ∥T n x∥≤lim − − −   n→∞ ∥T n ∥∥x∥, 

于是T是有界线性算子,且∥T∥≤lim − − −   n→∞ ∥T n ∥. 

即:T∈B(X,X 1 ),T n → 强 T(n→∞) 

注:当X,X 1 是Banach空间时,T n → 强 T(n→∞) 

的充要条件是 

(i){∥T n ∥}有界; 

(ii)G是X中的稠子集,∀y∈G,{T n y}收敛. 

4.3.4共鸣定理的应用 

例4.3.14(Fourier级数的发散) 

由一致有界原理知道:若∥f n ∥→∞(n→∞), 

则存在x 0 ,使得|f n (x 0 )|→∞(发散). 

据此下面证明: 

∙存在连续函数,在它的某一个连续点t 0 ,其Fourier级数是发散的. 

考虑:C 2π ={直线上以2π为周期的全体实值连续函数}. 

在C 2π 上定义 

∥x∥ ∞ =max −∞<t<∞ |x(t)|. 

可以证明(C 2π ,∥⋅∥)是一个Banach空间). 

对于任意的x(t)∈C 2π ,它的Fourier级数为 

x(t)∼a 0 2 +∑ k=1 ∞ (a k coskt+b k sinkt)(4.3.9) 

其中 

a 0 2 =12π ∫ π −π f(x)dx, 

a k =1π ∫ π −π f(x)coskxdx,b k =1π ∫ π −π f(x)sinkxdt. 

如果x(t)连续,且x ′ (t)连续,则它的Fourier级数收敛到x(t). 

∗现在的问题是： 

是否存在x(t)∈C 2π ,它的Fourier级数在某一点发散? 

即当n→∞时,它的Fourier级数前2n+1项的和在这点发散. 

函数x(t)前2n+1项Fourier级数的和为 

a 0 2 +∑ k=1 n (a k coskt+b k sinkt) 

=∫ π −π x(s)[12π +1π ∑ k=1 n cosk(s−t)]ds 

=∫ π −π x(s)k n (s,t)ds. 

其中k n (s,t)=sin(n+12 )(s−t)2πsin12 (s−t) (4.3.10) 

当t=t 0 给定时,x(t)前2n+1项的和在t 0 点的值 

f n (x)=∫ π −π x(s)k n (s,t 0 )ds, 

是关于x(t)的线性泛函. 

要证明存在x(t),它的Fourier级数在某一点t 0 发散. 

不失一般性,我们证明对于t=0, 

一定存在x(t),它的Fourier级数在t=0点发散. 

当t=0时,由(4.3.10)式, 

k n (s,0)=sin(n+12 )(s)2πsin12 s =12π +1π ∑ k=1 n cosks. 

(1)考虑C 2π 上的线性泛函. 

f n (x)=∫ π −π x(s)k n (s,0)ds 

(2)它是C 2π 上的有界线性泛函,且可以证明 

∥f n ∥=∫ π −π |k n (s,0)|ds 

(3)下面证明∥f n ∥→∞(n→∞). 

∥f n ∥=∫ π −π |k n (s,0)|ds=∫ 2π 0 |k n (s,0)|ds(周期函数) 

=12π ∫ 2π 0 |sin(n+12 )s||sin12 s| ds(s=2t) 

=1π ∫ 2π 0 |sin(n+12 )2t||sint| dt(|sint|≤|t|) 

≥1π ∫ π 0 |sin(2n+1)t|t dt(u=(2n+1)t) 

=(1π ∫ (2n+1)π 0 sinuu2n+1  du)12n+1  

=1π ∫ (2n+1)π 0 |sinu|u du. 

由数学分析知道,广义积分∫ ∞ 0 |sinu|u du=∞发散,从而我们得到: 

∥f n ∥=∫ π −π |k n (s,0)|ds 

=1π ∫ (2n+1)π 0 |sinu|u du→∞(n→∞). 

由共鸣定理,存在x 0 ∈C 2π ,{f n (x 0 )}发散,即 

存在连续函数x 0 (t),它在t=0点的Fourier级数发散. 

注1：有界变差函数(两个单调函数之差)的Fourier级数处处收敛. 

在连续点收敛到x(t)，在不连续点收敛到x(t+0)+x(t−0)2 . 

注2：但对一些连续函数,其Fourier级数可在一些点发散, 

1876年,Paul.duBois−Reymond给出了否定回答.考虑三角多项式 

T n (x,n)=cosnxn +cos(n+1)xn−1 +⋯+cos(n+(n−1))x1 −cos(n+(n+1))x1 −⋯−cos(n+2n)xn  

=∑ k=1 n cos(2n−k)x−cos(2n+k)xk  

令 

f(x)=∑ p=1 ∞ 1p 2  T(x,2 p 3  ). 

可以证明f(x)连续,f(x)的Fourier级数在0点发散. 

这是1911年, Fe ´ jer  提供的例子(参阅汪林：实分析中的反例, p.369).

注3：上面我们使用泛函分析的观点和方法,证明了 

存在连续函数x 0 (t),它在指定点t=0的Fourier级数发散. 

∙这种存在性证明,与构造一个反例相比较,方法更简单,结论更深刻. 

注4：1966年,瑞典数学家Carleson证明了:L 2 可积函 

数的Fourier级数处处收敛. 

∙于是可知连续函数的Fourier级数几乎处处收敛.