泛函分析 04.03 有界線性算子 - 一緻有界原則

§4.3一緻有界原則 

∙我們把線性算子抽象成為線性算子空間中的元素. 

∙抽象使我們能更清楚地看到線性算子的一些本質特征. 

∙在賦範線性空間(線性算子空間)的架構下,研究線性運算的性質. 

将得到一些很深刻的結論,例如: 

▶一緻有界原則(定理4.3.7); 

▶開映射定理(定理4.4.4),逆算子定理(定理4.4.5); 

▶閉圖像定理(定理4.5.7). 

∗這三個定理和Hahn−Banach定理5.1.1(線性泛函的 

延拓定理)可以看作是賦範空間中線性算子理論的基石. 

∙這三個定理刻畫了Banach空間中線性算子的重要性質. 

▶下面我們首先證明Baire綱定理, 

進而證明一緻有界原則,逆算子定理和閉圖像定理. 

4.3.1Baire綱定理 

定義4.3.1設(X,d)是距離空間,E⊂X.如果E 

不在X的任何非空開集中稠密,則稱E是疏集. 

稠密的定義:A,B是距離空間X中的點集,如果B ¯ ¯ ¯  ⊃A, 

則稱B在A中稠密. 

注1：疏集E中沒有内點. 

事實上,若x∈E是内點,存在S(x,r)⊂E,則E在S(x,r)中稠密. 

注2：Cantor集是疏集. 

事實上，Cantor集沒有内點. 

定義4.3.2若集合E可表示成至多可數可疏集的并,即 

E=⋃ n=1 ∞ E n , 

其中E n 是疏集(n=1,2,⋯), 

則稱E是第一綱集. 

不是第一綱集的集合稱為第二綱集. 

定理4.3.3(Baire綱定理)完備的距離空間是第二綱集. 

證明:反證法.假如不然,則 

X=⋃ n=1 ∞ E n , 

其中E n (n=1,2,⋯)疏集. 

于是 

(1)對于任何開球S,E 1 在S中不稠(E ¯ ¯ ¯   1 ⊉S), 

即存在S中的點不在E ¯ ¯ ¯   1 中(和E ¯ ¯ ¯   1 有正距離). 

由于S是開球,是以存在一個閉球S ¯ ¯   1 ⊆S,使得 

S ¯ ¯   1 ⋂E 1 =∅且S ¯ ¯   1 的半徑小于1. 

(2)同樣在S 1 中,E 2 在S 1 中不稠,存在S ¯ ¯   2 ⊆S 1 ,使得 

S ¯ ¯   2 ⋂E 2 =∅且S ¯ ¯   2 的半徑小于12 . 

(3)一直做下去,我們得到閉球套 

S ¯ ¯   1 ⊃S ¯ ¯   2 ⋯⊃S ¯ ¯   n ⊃⋯,且S ¯ ¯   n 的半徑r n <12 n−1  . 

(4)因X完備,r n →0,由閉球套定理知存在唯一的點 

x 0 ∈X,x 0 ∈⋂ n=1 ∞ S ¯ ¯   n . 

但S ¯ ¯   n ⋂E n =∅,由于∀n,x 0 ∈S ¯ ¯   n ,是以x 0 ∈ ¯ ¯  E n , 

這與X=⋃ k=1 ∞ E n 沖突. 

是以X不是第一綱集,即X是第二綱集. 

推論4.3.4Banach空間是第二綱集. 

例4.3.5設E是定義在[0,1]上的全體處處不可微的連續函數組成的集合, 

則E是非空的,且E的補集C[0,1]∖E是第一綱集. 

證明參閱張恭慶等《泛函分析講義》(上冊)p92.

注：定理表明: 

∙點點都連續可微的函數在連續函數空間中僅僅是包含在第一綱集中, 

或者是說“相對比較少”. 

∙點點連續、點點不可微的函數是非常之多的,這與我們的直覺感覺并不相同. 

∙舉出點點連續、點點不可微函數的例子并不是容易的. 

第一個這樣的例子是由Weierstrass建立的. 

例4.3.6下面由級數定義的函數給出了一個這樣的例子 

f(x)=∑ n=0 ∞ a n cos(b n πx),(4.3.1) 

其中0<a<1,而b是奇數,且ab>1+32 π. 

∙由于此函數項級數各項連續且一緻收斂,故和函數連續. 

∙進一步可證明f(x)在每一點均不可微. 

證明可參與汪林編《實分析中的反例》p.88 

利用Baire綱定理還可以得到一些古典分析中相對較難證明的結果. 

4.3.2一緻有界原則 

一緻有界是十分重要的概念,對有界線性算子,可以得到: 

∙一族點點有界的有界線性算子必定一緻有界. 

定理4.3.7(Banach−Steinhaus一緻有界原則) 

設{T α |α∈I}是Banach空間X上到賦範空間X 1  

中的有界線性算子族.如果對于∀x∈X,有 

sup α ∥T α x∥<∞(4.3.2) 

則{∥T α ∥|α∈I}是有界集. 

定理成立的前提條件: 

(1)X是Banach空間, 

(2)T是線性的,是定義在X上的. 

注：定理表明,若對任意的x∈X,存在M x >0,使得 

∥T α x∥≤sup α ∥T α x∥=M x <∞(4.3.3) 

則存在一個共同的M,使得 

∥T α ∥≤M,∀α∈I(4.3.4) 

∙簡言之,點點有界⇒(範數)一緻有界. 

▶定理的逆否命題是: 

命題4.3.8如果{T α |α∈I}是Banach空間X上到 

賦範空間X 1 中的有界線性算子族,sup α ∥T α ∥=∞, 

則存在x∈X,使得 

sup α∈I ∥T α x∥=∞(4.3.5) 

這個命題稱為共鳴定理. 

證明思路: 

目标:要證明的是集合{T α |α∈I}中線性算子的 

範數有一個共同的上界(即一緻有界). 

∙條件:sup α ∥T α x∥<∞, 

即對∀x∈X,∃M x >0,使得 

∥T α x∥≤sup α ∥T α x∥=Mx<∞(4.3.6) 

∙要證明:存在一個共同的M,使得 

∥T α ∥≤M,∀α∈I(4.3.7) 

即對于∀x∈X,∀α∈I,都有∥T α x∥≤M∥x∥. 

∙步驟: 

(1)首先證明{∥T α ∥|α∈I}在以原點為中心的一個小的閉球上一緻有界. 

即存在r>0,使得 

∥T α x∥≤M<∞,∀x∈B(0,r) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  ,∀α∈I. 

(2)根據算子的線性性, 

對∀x∈X,∀α∈I,由∥T α (rx∥x∥ )∥≤M,推出 

∥T α x∥≤Mr −1 ∥x∥, 

即在全空間上一緻有界. 

∗下面我們分3步來說明步驟(1). 

我們考慮集合 

M k ={x|∥T α x∥≤k,∀α∈I}(k=1,2,⋯) 

M k ={x∈X|sup α∈I ∥T α x∥≤k} 

=⋂ α∈I {x∈X|∥T α x∥<k}, 

{T α }在集合M k 上一緻有界,界是k. 

由條件:對∀x∈X,∃M x >0,使得 

∥T α x∥≤sup α ∥T α x∥=M x <∞, 

即∀x∈X,x必定屬于某一個M k ,于是我們有 

X=⋃ k=1 ∞ M k . 

由于X是Banach空間,是第二綱集,是以存在一個M k 0  不是疏集, 

即它在某一個非空開集G中稠密,G⊂M ¯ ¯ ¯ ¯   k 0  . 

▶随之在一個較小的閉球B ¯ ¯ ¯  中稠,B ¯ ¯ ¯  ⊂M ¯ ¯ ¯ ¯   k 0   

注意到範數是連續函數,M ¯ ¯ ¯ ¯   k 0  是閉集,我們有 

B ¯ ¯ ¯  ⊂M ¯ ¯ ¯ ¯   k 0  =M k 0  , 

即在這個閉球中{T α }一緻有界,界是k 0 . 

▶把它“平移”成為以原點為中心的閉球,由T的線性性質, 

使之在這個以原點為中心的閉球上一緻有界. 

證明(1)證明{∥T α ∥|α∈I}在以原點為中心的一個小的閉球上一緻有界. 

(i)對于k∈N + ,令 

M k ={x∈X|sup α∈I ∥T α x∥≤k}=⋂ α∈I {x∈X|∥T α x∥≤k}, 

由條件:對于∀x∈X, 

∥T α x∥≤sup α ∥T α x∥=M x <∞, 

即∀x∈X,x必定屬于某一個M k ,于是我們有 

X=⋃ k=1 ∞ M k  

因X是Banach空間,故X是第二綱集. 

是以,必存在k 0 ,使得M k 0  不是疏集. 

即M k 0  在X的某非空開集G中稠密,即G⊂M ¯ ¯ ¯ ¯   k 0  . 

(ii)由于G是開的,對于x 0 ∈G,存在一個閉球 

B ¯ ¯ ¯  ={x∈X|∥x−x 0 ∥≤r}⊂G, 

于是M k 0  在閉球B ¯ ¯ ¯  中稠密, 

B ¯ ¯ ¯  ={x∈X|∥x−x 0 ∥≤r}⊂G⊂M ¯ ¯ ¯ ¯   k 0  . 

注意到∥T α x∥是關于x的連續函數,是以對∀α∈I, 

{x∈X|∥T α x∥≤k} 

是閉集,于是M k =⋂ α∈I {x∈X|∥T α x∥≤k}是閉集. 

是以B ¯ ¯ ¯  ⊂M ¯ ¯ ¯ ¯   k 0  =M k 0  ={x∈X|sup α∈I ∥T α x∥≤k 0 }. 

即:對于∀x∈B ¯ ¯ ¯  ,∀α∈I,都有∥T α x∥≤k 0 , 

這說明{T α }在閉球B ¯ ¯ ¯  上是一緻有界的. 

(iii)進一步證明{∥T α ∥|α∈I}在以原點為中心的閉球B ¯ ¯ ¯   0 ={x∈X|∥x∥≤r}上一緻有界. 

對于任意的x∈B ¯ ¯ ¯   0 ={x∈X|∥x∥≤r}, 

我們有x+x 0 ∈B ¯ ¯ ¯  ={x∈X|∥x−x 0 ∥≤r},于是 

∥T α x∥≤∥T α (x+x 0 )∥+∥T α x 0 ∥≤2k 0 ,∀α∈I. 

(2)根據算子的線性性,證明{T α }在全空間上一緻有界. 

對∀x∈X,因rx∥x∥ ∈B ¯ ¯ ¯   0 ,故∥T α rx∥x∥ ∥≤2k 0 .于是 

∥T α x∥≤2k 0 ∥x∥/r. 

是以 

∥T α ∥≤2r k 0 =M,∀α∈I, 

即sup α ∥T α ∥≤M<∞. 

注1：定理中的條件，X是Banach空間，僅僅用到推出X是第二綱集. 

∙即定理的條件可以減弱為X是第二綱集. 

注2：算子的線性性質在這裡很重要,如果沒有線性性質, 

結論會在很多程度上減弱(參閱第四章習題30). 

習題30表明F是完備距離空間X上的實連續函數族, 

且對∀x∈X,存在M x >0,使得對于每一個f∈F, 

|f(x)|≤M x , 

則存在開集U及M>0,使得對∀x∈U,f∈F有 

|f(x)|≤M, 

即在U上,f(x)一緻有界. 

命題4.3.9X是Banach空間,若f α (α∈I)是定義在X上的有界線性泛函, 

如果對于每一個x∈X, 

sup α∈I |f α (x)|<∞, 

則{∥f α ∥|α∈I}是有界集. 

命題4.3.10當I是一個可數集時,X是一個Banach 

空間,{f n }是定義在X上的有界線性泛函,如果對于 

∀x∈X,有 

sup n |f n (x)|<∞, 

則 

sup n ∥f n ∥<∞. 

命題4.3.11當I是一個可數集時, 

若X是一個Banach空間,{f n }是定義在X上的有界線性泛函,sup n ∥f n ∥=∞. 

則存在x 0 ∈X,使得 

sup n |f n (x 0 )|=∞. 

∙這是一緻有界原則的逆否命題. 

注：一緻有界原則也可以由本章第四節關于範數等價的定理4.4.6推出. 

4.3.3強收斂意義下的完備性 

從定理4.2.5我們知道,如果X是賦範空間,X 1 是Banach空間, 

則B(X,X 1 )是Banach空間. 

即空間中的任何Cauchy列都收斂(按算子的範數). 

下面我們考慮在強收斂意義下的完備性. 

定理4.3.12設X,X 1 是Banach空間,則B(X,X 1 )在強收斂的意義下完備. 

注:完備的含義: 

(1)T n ∈B(X,X 1 ), 

(2)若∀x∈X,{T n x}是X 1 中的Cauchy列, 

則存在T∈B(X,X 1 ),T n → 強 T(n→∞), 

即∀x∈X,T n x→Tx(n→∞). 

證明:設T n ∈B(X,X 1 ),且∀x∈X,{T n x}是X 1 中 

的Cauchy列. 

(i)構造(定義)一個線性算子T. 

因X 1 完備,{T n x}是Cauchy列,故存在z∈X,使 

得T n x→z,定義Tx=z(且T n x→z=Tx(n→∞)). 

(ii)顯然T使線性的.要證明T∈B(X,X 1 ). 

由于收斂的點列有界,對于∀x∈X,我們有 

sup n ∥T n x∥<∞. 

因X完備,由一緻有界原則,{∥T n ∥}有界,是以 

∥Tx∥=∥lim n→∞ T n x∥=lim n→∞ ∥T n x∥≤lim − − −   n→∞ ∥T n ∥∥x∥, 

于是T是有界線性算子,且∥T∥≤lim − − −   n→∞ ∥T n ∥. 

即:T∈B(X,X 1 ),T n → 強 T(n→∞). 

注1：注意定理的前提條件: 

X是Banach空間,X 1 也是Banach空間. 

注2：由定理可知,當X,X 1 是Banach空間時,由 

(1)T n ∈B(X,X 1 ), 

(2)∀x∈X,{T n x}是X 1 中的Cauchy列, 

則{∥T n ∥}一緻有界的條件可以從X是Banach空間和上面的條件(2)中推出. 

注3：在上述條件中,條件(1)加強,條件(2)減弱, 

X隻要求是賦範空間,我們也由相同的結論. 

定理4.3.13設{T n }是賦範空間X到Banach空間 

X 1 中的有界線性算子列,如果 

(i){∥T n ∥}有界; 

(ii)G是X的稠子集,且對∀y∈G,{T n y}收斂; 

則存在有界線性算子T(T∈B(X,X 1 )),使得 

T n → 強 T(n→∞),且∥T∥≤lim − − −   n→∞ ∥T n ∥(4.3.8) 

證明:(1)構造這樣的線性算子T(給出Tx=?的定義). 

(i)由于G在X中稠密,對∀x∈X,存在y∈G,使得 

∥x−y∥<ε. 

(ii)由已知：對任意的y∈G,{T n y}收斂,是以{T n y} 

是一個Cauchy列. 

(iii)結合已知{∥T n ∥}有界,得到: 

∥T n x−T m x∥≤∥T n x−T n y∥+∥T n y−T m y∥+∥T m y−T m x∥ 

≤∥T n ∥∥x−y∥+∥T n y−T m y∥+∥T m ∥∥x−y∥, 

則∥T n x−T m x∥→0(當m,n→∞). 

即{T n x}是一個Cauchy列. 

由于X 1 是Banach空間.于是存在z,使得 

∥T n x−z∥→0(n→∞) 

令Tx=z,即Tx=z=lim n→∞ T n x 

顯然T是線性的. 

(2)證明算子T有界. 

∥Tx∥=∥lim n→∞ T n x∥=lim n→∞ ∥T n x∥≤lim − − −   n→∞ ∥T n ∥∥x∥, 

于是T是有界線性算子,且∥T∥≤lim − − −   n→∞ ∥T n ∥. 

即:T∈B(X,X 1 ),T n → 強 T(n→∞) 

注:當X,X 1 是Banach空間時,T n → 強 T(n→∞) 

的充要條件是 

(i){∥T n ∥}有界; 

(ii)G是X中的稠子集,∀y∈G,{T n y}收斂. 

4.3.4共鳴定理的應用 

例4.3.14(Fourier級數的發散) 

由一緻有界原理知道:若∥f n ∥→∞(n→∞), 

則存在x 0 ,使得|f n (x 0 )|→∞(發散). 

據此下面證明: 

∙存在連續函數,在它的某一個連續點t 0 ,其Fourier級數是發散的. 

考慮:C 2π ={直線上以2π為周期的全體實值連續函數}. 

在C 2π 上定義 

∥x∥ ∞ =max −∞<t<∞ |x(t)|. 

可以證明(C 2π ,∥⋅∥)是一個Banach空間). 

對于任意的x(t)∈C 2π ,它的Fourier級數為 

x(t)∼a 0 2 +∑ k=1 ∞ (a k coskt+b k sinkt)(4.3.9) 

其中 

a 0 2 =12π ∫ π −π f(x)dx, 

a k =1π ∫ π −π f(x)coskxdx,b k =1π ∫ π −π f(x)sinkxdt. 

如果x(t)連續,且x ′ (t)連續,則它的Fourier級數收斂到x(t). 

∗現在的問題是： 

是否存在x(t)∈C 2π ,它的Fourier級數在某一點發散? 

即當n→∞時,它的Fourier級數前2n+1項的和在這點發散. 

函數x(t)前2n+1項Fourier級數的和為 

a 0 2 +∑ k=1 n (a k coskt+b k sinkt) 

=∫ π −π x(s)[12π +1π ∑ k=1 n cosk(s−t)]ds 

=∫ π −π x(s)k n (s,t)ds. 

其中k n (s,t)=sin(n+12 )(s−t)2πsin12 (s−t) (4.3.10) 

當t=t 0 給定時,x(t)前2n+1項的和在t 0 點的值 

f n (x)=∫ π −π x(s)k n (s,t 0 )ds, 

是關于x(t)的線性泛函. 

要證明存在x(t),它的Fourier級數在某一點t 0 發散. 

不失一般性,我們證明對于t=0, 

一定存在x(t),它的Fourier級數在t=0點發散. 

當t=0時,由(4.3.10)式, 

k n (s,0)=sin(n+12 )(s)2πsin12 s =12π +1π ∑ k=1 n cosks. 

(1)考慮C 2π 上的線性泛函. 

f n (x)=∫ π −π x(s)k n (s,0)ds 

(2)它是C 2π 上的有界線性泛函,且可以證明 

∥f n ∥=∫ π −π |k n (s,0)|ds 

(3)下面證明∥f n ∥→∞(n→∞). 

∥f n ∥=∫ π −π |k n (s,0)|ds=∫ 2π 0 |k n (s,0)|ds(周期函數) 

=12π ∫ 2π 0 |sin(n+12 )s||sin12 s| ds(s=2t) 

=1π ∫ 2π 0 |sin(n+12 )2t||sint| dt(|sint|≤|t|) 

≥1π ∫ π 0 |sin(2n+1)t|t dt(u=(2n+1)t) 

=(1π ∫ (2n+1)π 0 sinuu2n+1  du)12n+1  

=1π ∫ (2n+1)π 0 |sinu|u du. 

由數學分析知道,廣義積分∫ ∞ 0 |sinu|u du=∞發散,進而我們得到: 

∥f n ∥=∫ π −π |k n (s,0)|ds 

=1π ∫ (2n+1)π 0 |sinu|u du→∞(n→∞). 

由共鳴定理,存在x 0 ∈C 2π ,{f n (x 0 )}發散,即 

存在連續函數x 0 (t),它在t=0點的Fourier級數發散. 

注1：有界變差函數(兩個單調函數之差)的Fourier級數處處收斂. 

在連續點收斂到x(t)，在不連續點收斂到x(t+0)+x(t−0)2 . 

注2：但對一些連續函數,其Fourier級數可在一些點發散, 

1876年,Paul.duBois−Reymond給出了否定回答.考慮三角多項式 

T n (x,n)=cosnxn +cos(n+1)xn−1 +⋯+cos(n+(n−1))x1 −cos(n+(n+1))x1 −⋯−cos(n+2n)xn  

=∑ k=1 n cos(2n−k)x−cos(2n+k)xk  

令 

f(x)=∑ p=1 ∞ 1p 2  T(x,2 p 3  ). 

可以證明f(x)連續,f(x)的Fourier級數在0點發散. 

這是1911年, Fe ´ jer  提供的例子(參閱汪林：實分析中的反例, p.369).

注3：上面我們使用泛函分析的觀點和方法,證明了 

存在連續函數x 0 (t),它在指定點t=0的Fourier級數發散. 

∙這種存在性證明,與構造一個反例相比較,方法更簡單,結論更深刻. 

注4：1966年,瑞典數學家Carleson證明了:L 2 可積函 

數的Fourier級數處處收斂. 

∙于是可知連續函數的Fourier級數幾乎處處收斂.