泛函分析 05.01 共轭空間和共轭算子 - Hahn-Banach定理 第五章共轭空間和共轭算子 \color{blue}{第五章 共轭空間和共轭算子}

第五章共轭空間和共轭算子 

∙對稱是自然界中非常重要的幾何性質. 

∙線性代數中我們看到對稱矩陣有着很好的性質. 

⧫這一章我們要研究: 

∙内積空間(賦範空間)中的對稱性, 

∙線性算子的對稱算子(或者說共轭算子和自共轭算子). 

§5.1Hahn−Banach定理 

∙(X,∥⋅∥)是賦範線性空間,在X上可定義線性泛函. 

例如上一章第三節的例(4.3.14),在C[−π,π]中,x(t) 

的Fourier級數前2n+1項的部分和(在0點的值): 

f n (x)=∫ π −π K n (s,0)x(s)ds, 

每一個f n 都是C[−π,π]上的線性泛函. 

即:在X上可以定義許多不同線性泛函. 

▼以下的定理說明在賦範空間(X,∥⋅∥)上可以定義“足夠多”的線性泛函. 

5.1.1Hahn−Banach定理 

定理5.1.1(複的Hahn−Banach定理)設X是一個複的賦範空間 

G是X的子空間,f是G上的有界線性泛函,則 

f可以保持範數不變地延拓到全空間X上, 

即存在X上的有界線性泛函F,使得 

(i)對于∀x∈G,F(x)=f(x); 

(ii)∥F∥=∥f∥ G , 

其中∥f∥ G 表示f作為G上的有界線性泛函的範數. 

證明:(1)首先在實的賦範空間中考慮. 

(i)設G≠X,任取x 1 ∈X∖G,用G 1 表示由x 1 和G 

張成的線性子空間,即 

G 1 ={x+αx 1 |x∈G,α∈R}. 

在G 1 上定義 

f 1 (x+αx 1 )=f(x)+αβ(x∈G,α∈R)(5.1.1) 

其中β是适當選擇的實數,滿足: 

sup x∈G {f(x)−∥f∥ G ∥x−x 1 ∥}≤β≤inf x∈G {∥f∥ G ∥x+x 1 ∥−f(x)}(5.1.2) 

容易驗證,f 1 是G 1 上的線性泛函. 

我們把f拖延成G 1 上的線性泛函. 

首先滿足(5.1.2)式的β是存在的, 

事實上,對于任意的x ′ ,x ′′ ∈G, 

f(x ′ )+f(x ′′ )=f(x ′ +x ′′ )≤∥f∥ G ∥x ′ +x ′′ ∥ 

≤∥f∥ G ∥x ′ −x 1 ∥+∥f∥ G ∥x 1 +x ′′ ∥ 

于是可推出 

f(x ′ )−∥f∥ G ∥x ′ −x 1 ∥≤∥f∥ G ∥x ′′ +x 1 ∥−f(x ′′ ),∀x ′ ,x ′′ ∈G, 

即: 

sup x∈G {f(x)−∥f∥ G ∥x−x 1 ∥}≤inf x∈G {∥f∥ G ∥x+x 1 ∥−f(x)}, 

這說明滿足(5.1.2)式的β存在. 

(ii)以下我們證明這個延拓是保範的. 

要證明延拓是保範的,因有界線性泛函延拓時範數不會減少, 

根據式(5.1.1)隻要證明 

|f 1 (x+αx 1 )=|f(x)+αβ|≤∥f∥ G ∥x+αx 1 ∥,(5.1.3) 

(∀x∈G,−∞<α<∞) 

要證明上式成立,隻需證明 

f(x)+αβ≤∥f∥ G ∥x+αx 1 ∥(∀x∈G,−∞<α<∞)(5.1.4) 

這時因為在式(5.1.4)中換x為−x,α為−α,就得 

f(x)+αβ≥−∥f∥ G ∥x+αx 1 ∥(5.1.5) 

把(5.1.4)和由它推出的(5.1.5)結合起來就是(5.1.3). 

當α=0時(5.1.4)式顯然成立. 

當α>0時,令x=αu,根據β滿足(5.1.2)式右邊的 

不等式,即 

sup x∈G {f(x)−∥f∥ G ∥x−x 1 ∥}≤β 

≤inf x∈G {∥f∥ G ∥x+x 1 ∥−f(x)} 

我們有 

f(x)+αβ=f(αu)+αβ=α(f(u)+β) 

≤α(f(u)+∥f∥ G ∥u+x 1 ∥−f(u)) 

=α(∥f∥ G ∥u+x 1 ∥) 

=∥f∥ G ∥αu+αx 1 ∥=∥f∥ G ∥x+αx 1 ∥; 

當α<0時,令x=−αu,根據β滿足(5.1.2)式左邊 

的不等式,我們有 

f(x)+αβ=f(−αu)+αβ=−α(f(u)−β) 

≤−α(f(u)−(f(u)−∥f∥ G ∥u−x 1 ∥)) 

=−α(∥f∥ G ∥u−x 1 ∥) 

=∥f∥ G ∥−αu+αx 1 ∥=∥f∥ G ∥x+αx 1 ∥; 

這說明延拓以後的線性泛函保持原來範數∥f∥ G 不變. 

(iii)下面我們利用Zorn引理證明: 

f可以保範地延拓到全空間X上. 

我們先來回顧以下Zorn引理. 

設P是集合.如果P上定義的二進制關系“⪯”滿足: 

1.自反性:a⪯a; 

2.傳遞性:若a⪯b且b⪯c,則a⪯c; 

3.反對稱性:若a⪯b且b⪯a,則a=b. 

其中a,b,c∈P,則稱P是帶有⪯的半序集,記為 

(P,⪯),簡記為P. 

另外,如果半序集P中任意兩個元素a,b,還滿足a⪯b 

或b⪯a之一成立,則稱(P,⪯)是全序集. 

∙稱m∈P是子集S⊂P的上界,如果對于∀a∈S, 

a⪯m. 

∙稱m∈P是P的極大元,如果a∈P,m⪯a蘊含 

m=a. 

Zorn引理:設P是非空半序集.如果P中任何全序子集 

都有上界,則P至少有一個極大元. 

令F為f的全體保範延拓,在F上定義半序關系: 

f 1 ⪯f 2 ⇔f 2 是f 1 的延拓,即: 

D(f 1 )⊂D(f 2 )且f 1 (x)=f 2 (x),∀x∈D(f 1 ). 

令C是F中的任何一個全序子集,可以證明C有上界. 

事實上.令D 0 =⋃ g∈C D(g),對于任意x∈D 0 ,存在g∈C 

使得x∈D(g),定義f 0 (x)=g(x).則f 0 ∈F且f 0 是C的上界. 

根據Zorn引理,在F中存在極大元F.結合前一部分的 

證明易知D(F)=X.由此可得,f可以保範地延拓到全空間上. 

(2)在複的賦範空間,令 

f(x)=φ(x)+iψ(x)(x∈G), 

其中φ,ψ粉筆表示f的實部和虛部,因f(ix)=if(x), 

φ(ix)+iψ(ix)=f(ix)=if(x)=iφ(x)−ψ(x) 

是以複的線性泛函的實部和虛部滿足關系: 

φ(ix)=−ψ(x). 

把X看作是實的賦範空間,則由以上的讨論, 

φ可以保範地延拓成X上的實線性泛函φ 0 ,令 

F(x)=φ 0 (x)−iφ 0 (ix)(x∈X). 

則F就是滿足定理要求在全空間上定義的線性泛函. 

事實上,對于∀x∈X, 

F(ix)=φ 0 (ix)−iφ 0 (−x)=φ 0 (ix)+iφ 0 (x) 

=i(φ 0 (x)−iφ(ix))=iF(x). 

由此可推出F是X上的線性泛函.并且對于∀x∈G, 

F(x)=φ 0 (x)−iφ 0 (ix)=φ(x)−iφ(ix)=f(x). 

是以F是f的延拓. 

令θ=argF(x),結合|F(x)|是實數,我們有 

|F(x)|=e −iθ F(x)=F(e −iθ x) 

=φ 0 (e −iθ x)−iφ 0 (ie −iθ x)=φ 0 (e −iθ x) 

≤∥φ 0 ∥∥e −iθ x∥=∥φ∥ G ∥x∥≤∥f∥ G ∥x∥. 

是以∥F∥≤∥f∥ G .另一方面,∥F∥≥∥f∥ G ,進而 

∥F∥=∥f∥ G .是以F就是f在全空間上的保範延拓. 

注1:在Hahn−Banach定理5.1.1的證明中沒有用到範數的如下性質: 

∥x∥=0⇒x=0. 

∙也就是說定理中假設範數的條件可以改為半範數p(x). 

∗有關半範數和相應結論可參閱劉炳初編著《泛函分析》. 

注2:Hahn−Banach定理5.1.1是純代數的, 

∙雖然它假設了線性空間上有範數或半範數, 

∙但是定理的表述和證明過程中都沒有用到空間的任何延拓性質 

(或極限概念). 

注3:線性泛函的延拓下不是唯一的. 

例5.1.2在R 2 中,令∥x∥=|ξ 1 |+|ξ 2 |=(ξ 1 ,ξ 2 ). 

設G={(ξ 1 ,0)|ξ 1 ∈R}是R 2 中形如(ξ,0)的元素 

構成的一個線性子空間.令 

f(x)=ξ 1 ,x∈G. 

f是G上的線性泛函,∥f∥ G =1. 

對于∀α∈[−1,1],定義 

F α (x)=ξ 1 +αξ 2 ,x=(ξ 1 ,ξ 2 )(5.1.6) 

顯然,當x∈G,x=(ξ 1 ,0),F α (x)=ξ 1 =f(x). 

因為F α (x)=f(x)(x∈G),且∥f∥ G =1,是以 

∥F α ∥≥1. 

又有 

|F α (x)|=|ξ 1 +αξ 2 | 

≤|ξ 1 |+|α||ξ 2 | 

≤|ξ 1 |+|ξ 2 |=∥x∥, 

即∥F α ∥≤1.是以∥F α ∥=1. 

但是對于不同的α,F α (5.1.6)是f不同的保範延拓. 

5.1.2Hahn−Banach定理的推論 

命題5.1.3設X是賦範空間,則對∀x 0 ∈X,x 0 ≠0, 

存在X上的有界線性泛函f,使得: 

∥f∥=1,f(x 0 )=∥x 0 ∥. 

證明:令G={αx 0 |α∈K},G是X中的線性子空間. 

在G上定義: 

f 0 (αx 0 )=α∥x 0 ∥ 

(當α=1時,f 0 (x 0 )=∥x 0 ∥). 

f 0 是G上的線性泛函,事實上: 

f 0 (αx 0 +βx 0 )=f 0 ((α+β)x 0 )=(α+β)∥x 0 ∥ 

=α∥x 0 ∥+β∥x 0 ∥=αf 0 (x 0 )+βf 0 (x 0 ). 

另一方面x∈G,x=αx 0 , 

|f 0 (x)|=|f 0 (αx 0 )|=|α|∥x 0 ∥=∥αx 0 ∥=∥x∥, 

是以∥f 0 ∥ G =1. 

由于f 0 是G上定義的有界線性泛函,且α=1時, 

f 0 (x 0 )=∥x 0 ∥, 

是以由定理5.1.1存在全空間上的有界線性泛函f,使得 

∥f∥=1,且f(x 0 )=f 0 (x 0 )=∥x 0 ∥. 

注1：命題說明若X≠{0},則X上必有非零線性泛函. 

推論5.1.4設X是一個賦範空間,對于∀x 1 ,x 2 ∈X, 

x 1 ≠x 2 ,則存線上性泛函f,使得∥f∥=1,且 

f(x 1 )≠f(x 2 ).(5.1.7) 

證明:令x 0 =x 1 −x 2 ≠0,由命題5.1.3,存在X上線 

性泛函f,∥f∥=1,且 

f(x 1 −x 2 )=∥x 1 −x 2 ∥≠0. 

是以f(x 1 )≠f(x 0 ). 

注:這說明有足夠多的線性泛函可把空間中任何兩個 

不同的元素區分開來. 

推論5.1.5設X是一個賦範空間,如果對于X的任何有 

界線性泛函f都有 

f(x 0 )=0,(5.1.8) 

則x 0 =0.（否則存在f,∥f∥=1,f(x 0 )=∥x 0 ∥≠0.) 

注：這是判斷x=0的一個重要手段. 

5.1.3線性泛函和閉集分離 

推論5.1.6設G是賦範空間X的子空間,x 0 ∈X,若 

d=d(x 0 ,G)=inf x∈G ∥x−x 0 ∥>0(5.1.9) 

則存在X上的有界線性泛函f, 

∥f∥=1d ;f(x 0 )=1;f(x)=0,∀x∈G.(5.1.10) 

證明:設G 1 是由x 0 即G張成的線性空間,即: 

G 1 ={αx 0 +x|α∈K,x∈G}. 

在G 1 上定義: 

f 1 (αx 0 +x)=α,α∈K,x∈G. 

顯然f 1 是G 1 上的線性泛函,滿足 

f 1 (x 0 )=1;f 1 (x)=0,∀x∈G(∵α=0). 

因為當α≠0時,由(5.1.9)式,∀x∈G,我們有 

∥αx 0 +x∥=|α|∥x 0 +xα ∥≥|α|d. 

是以結合f 1 (x)=0(x∈G),我們有 

|f 1 (αx 0 +x)|=|α|≤1d ∥αx 0 +x∥, 

即f 1 是有界線性泛函,并且∥f 1 ∥ G 1  ≤1d . 

另外,因為 

d=d(x 0 ,G)=inf x∈G ∥x−x 0 ∥>0, 

根據下确界的定義∃x n ∈G,使得: 

∥x n −x 0 ∥→d(n→∞). 

由于|f 1 (x n −x 0 )|=1,且 

|f 1 (x n −x 0 )|≤∥f 1 ∥ G 1  ∥x n −x 0 ∥, 

于是 

∥f 1 ∥ G 1  ≥1∥x n −x 0 ∥ →1d (n→∞). 

即∥f 1 ∥ G 1  ≥1d .我們有 

∥f 1 ∥ G 1  =1d . 

由定理5.1.1知,f 1 可以保持範數不變延拓到全空間X上的線性泛函f, 

且 

∥f∥=1d ;f(x 0 )=1;f(x)=0(x∈G).(5.1.11) 

注1:這是一種分離的性質, 

x 0 ∈ ¯ ¯  G,d=inf x∈G ∥x−x 0 ∥>0, 

則可以用線性泛函f把x 0 和G分開, 

f(x)=0,x∈G;f(x 0 )=1;∥f∥=1d . 

注2:如果G是閉子空間,x 0 ∈ ¯ ¯  G,則 

d=d(x 0 ,G)=inf x∈G ∥x−x 0 ∥>0. 

于是存線上性泛函f,使得 

∥f∥=1d ,且f(x)=0,x∈G;f(x 0 )=1. 

即線性泛函f把這兩個閉集分離開來. 

對于三維空間上的線性泛函, 

f(x)=ax+by+cz 

集合{(x,y,z)|f(x)=k}是三維空間中的一個平面, 

一般地可以定義: 

定義5.1.7設X是一個賦範空間,f是X上的線性泛函,稱 

L k f ={x∈X|f(x)=k} 

是X中的超平面. 

設Ω⊂X,如果對于任何的x∈Ω,有f(x)≤k或 

f(x)≥k,則稱Ω位于L k f 的一側. 

進一步,如果還有x 0 ∈Ω∩L k f ,則稱超平面在x 0 處支撐着Ω. 

命題5.1.8設B ¯ ¯ ¯  (0,R)={x|∥x∥≤R}是賦範空間X 

中的閉球,則在球面S(0,R)={x|∥x∥=R}上的每一點處, 

存在支撐球的超平面L R f . 

證明:由于x 0 ∈S(0,R),∥x 0 ∥=R,x 0 ≠0, 

根據命題5.1.3,存在X上的有界線性泛函f,使得 

∥f∥=1, 

f(x 0 )=∥x 0 ∥=R. 

是以x 0 ∈L R f .并且:當x∈B ¯ ¯ ¯  (0,R)時, 

f(x)≤∥f∥∥x∥=∥x∥≤R. 

即B ¯ ¯ ¯  (0,R)在超平面L R f 的一側.